Площадь треугольника АВС = 36см².Його ортогональная проекция - равнобедренный
прямоугольный треугольник А1В1С1 с гипотенузой 6√2. Найти угол между плоскостями АВС и А1В1С1

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
При разделении плоскостью, проходящей через середины сторон трапеции высоты получившихся призм одинаковы, и нужно показать, что линия пересечения плоскости с основанием делит его на две равные по площади фигуры. Это легко. Для основания: S трап = 0,5 (а + в) h
Линия пересечения проходит через середины оснований, значит, она рассекает каждое основание на две равные части: 0,5а и 0,5а; 0,5в и 0,5в.
получившиеся фигуры  - тоже трапеции и площади их равны: S лев = S прав = 0,5 (0,5а + 0,5в) h.
Итак, площади оснований половинок призмы - одинаковы, а высота  - как была, так и осталась Н. Следовательно, и получившиеся призмы - равновелики., т.е. равны по объёму

Вариант решения. 
Высота равнобедренного тупоугольного треугольника, проведенная к боковой стороне, всегда проходит за пределами треугольника и пересекает продолжение боковой стороны.
Так как высота - перпендикуляр, треугольник АDС- прямоугольный.
Угол, противолежащий АD, равен половине суммы углов при основании АС. 
Сумма углов треугольника 180° 
Угол DСА=(180°-120°):2=30° 
По свойству катета, противолежащего углу 30 градусов, АD  равен половине гипотенузы.
АD=АС:2 
АС=2*АD=2*9=18 см 
Или, если Вы уже изучали отношения сторон прямоугольного треугольника, АD=АС*sin 30°
АС=АD:sin 30°
АС=9:(1/2)=9*2=18 см