В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=3 и BC=1,6 .
Найдите медиану CK этого треугольника

1) △BAO, △BCO равнобедренные (AE, EC являются одновременно медианами и высотами) => BA=OA, BC=OC
OA=OB=OC (радиусы окружности)
OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60)
∠ABC=∠ABO+∠OBC=120
∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180)
∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

2) BH=9; AC=24

AB=BC
AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой)
AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15

Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4
r= OH = BH*4/9 =4

R= AB*BC*AC/2*S = AB*BC/2*BH = 15^2/2*9 =12,5

Проверка:
r*R= AB*BC*AC/2(AB+BC+AC)
15*15*24/2(15+15+24) = 50 = 4*12,5

Поместим начало координат в вершину прямого угла, а оси направим по его сторонам. Пусть конец отрезка, который движется по оси ОХ, имеет координаты (t,0). Тогда, если длина отрезка равна L, то второй конец, который движется по оси ОY, будет иметь координаты . Тогда абсцисса середины отрезка x=t/2, а ордината середины . Отсюда t=2x. Подставляем это в y и получаем, что x и y  связаны соотношением . Т.е. середина отрезка описывает дугу окружности с центром в вершине прямого угла, и радиусом в половину длины отрезка.