Навколо кола, радіус якого дорівнює 7 см, описано ромб зі стороною а см. точка к, що лежить на відстані 24 см від ромба, рівновіддалена від його сторін. знайдіть відстань від точки к до сторін ромба

1)Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС, АМ- биссектриса.
Тогда ВМ=25см, МС=30 см или ВМ=30 см, МС=25. Но в любом случае ВС=25+30=55 (см)
По свойству биссектрисы  АС: АВ= МС:ВМ
а)ВМ=25 см, МС=30 см, тогда АС:АВ=30/25, АС:АВ=6/5.
Обозначим АС=6х, АВ=5х
Но АВ=ВС, 5х=55, х=11, тогда АС=66.

сos A=cos C=33|55=3|5>cos 60⁰=0,5.
Угол А меньше 60⁰

Рассмотрим треугольник АВК ( ВК- высота ΔАВС):
По свойству биссектрисы угла А треугольника АВК:
АВ:АК=ВT:TK (T- точка пересечения биссектрисы угла А с высотой ВК)
АВ=55см, АК=33 см, тогда BT:TK=55:33 или биссектриса делит высоту в отношении 5:3.
б) ВМ=30 см, МС=25 см, тогда  АС:АВ=25/30, АС:АВ=5/6,
АС=5х, АВ=6х, АВ=ВС=55 см.   6х=55, х=55/6 . АС=275/6 АК=275/12
cos A= AK/АВ=275/(55*12)=5/12<0,5= cos 60⁰
значит угол А больше 60⁰ и этот случай не рассматриваем.

ответ 1) 5:3

2) Рассмотрим треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. ВT=25 см, ТК=7 см.
Точка Т - равноудалена от концов боковой стороны, то есть АТ=ВТ=25 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АТК: АТ=25 см, ТК=7 см. По теореме Пифагора найдем АК²=АТ²-ТК²=25²-7²=(25-7)(25+7)=18·32=24², АК=24 см
Тогда основание АС=2АК=48 см, высота ВК=25+7=32 (см)
По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²=24²+32²=1600=40².
Боковая сторона треугольника 40 см, основание 48 см.
Периметр 40+40+48=128 см
ответ. Р=128 см.

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;