Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1.
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Примем отрезок АН гипотенузы за х, НВ тогда 82-х
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ
СН²=АН*НВ
1600=х(82-х)
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
АН, как более короткий отрезок, равен 32,
НВ=50
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково.
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ. АН:СН=СН:НВ=4:5
АС:СВ=4/5
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
И вариант третий - если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.
Дано: трапеция АВСД, где ВС – меньшее основание. АВ=ВС=СД. Из т.В опустили высоту ВЕ к стороне АД. Точка О – пересечение ВЕ и АС. ВО=10, ОЕ=8.
1) 1) Пусть ВС=х, тогда АВ=х. Из треугольника АВЕ: АЕ^2=AB^2-BE^2=x^2-(10+8)^2=x^2-324
2) 2) Треугольники АОЕ и ВОС подобны по 2-м углам (углы АОЕ и ВОС равны как вертикальные; углы ОАЕ и ОСВ равны как накрест лежащие при 2-х параллельных прямых), тогда АЕ:ВС=ОЕ:ОВ. Отсюда АЕ=ВС*ОЕ/ОВ=х*8/10. Значит АЕ^2=x^2*64/100
3) 3) Подставим уравнение из п.2 в п.1: x^2-324= x^2*64/100. Отсюда х=30
4) 4) Тогда АЕ^2=30^2-324=576. Отсюда АЕ=24
5) 5) АД=ВС+2*АЕ=30+2*24=78
6) 6) S=1/2*(ВС+АД)*ВЕ=1/2*(30+78)*18=972
