Предположим, что угол A = A1, B = B1 и A1B1 / AB = 3 P - периметр треугольника ABC, P1 - периметр треугольника A1B1C1. Найти P1 / P

Если соединить центр окружности с вершинами многоугольника, получим треугольники, сумма сторон которого, расположенных вне окружности, - периметр описанного многоугольника. 
Проведем из центра ( общей вершины каждого получившегося треугольника) высоты к сторонам многоугольника. .
Т.к. площадь треугольника находят по формуле 
   S=a*h:2,
а высота здесь равна радиусу, проведенному в точку касание окружности со стороной каждого треугольника, ⇒ 
 S=a*r:2
Площадь многоугольника равна сумме площадей всех этих треугольников с вершиной в центре вписанной в него окружности. 
S=а₁*r:2+ a₂*r:2+a(n)*r:2=r*(a₁+a₂+a₃+a(n)):2=r*P:2=r*p ⇒ 
Площадь многоугольника равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот многоугольник.( верно, естественно, и для треугольника с вписанной в него окружностью)
S=51*4:2=102

S = p*r = 25,5 * 4 = 102

(p - полупериметр)

Эту формулу можно доказать, разбив многоугольник на тр-ки со стороной - ст. мн-ка и 3ей вершиной в центре окр. Сторона мн-ка явл-ся касат. к окр., зн, высота тр-ка к этой стороне проходит через т. кас. с окр. Высота равна радиусу и полщадь тр-ка равна половине произв. стороны (кот. явл-ся ст. мн-ка) на высоту-радиус.

Сумма площадей тр-ков равна произв. полусуммы длин сторон на радиус. 

То есть произв. полупериметра на радиус впис. окр.