Точка M-середина BC треугольника ABC.
CL параллельно AM(точка L лежит на AM).
На AM отмечена точка K так,что AK=2LM
Доказать что угол BKM равен углу CAM

(Смотри рисунок).
Дано:
АВСД - трапеция
ЕФ - средняя линия
ЕФ1=12
ФФ1=6
угол 1=углу2
Найти S

Угол 1=углу3(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД). Так как угол 3=углу2, то ΔВСД - равнобедренный и ВС=СД=АВ.
ЕФ1 - средняя линия треугольника АВД ⇒ АД по свойству средней линии треугольника рана 2×12=24.
ФФ1 - средняя линия треугольника ВСД ⇒ ВС=2×6=12.
Значит СД и АВ равны 12.
Найдем АН.
ВС=НК=12.
АН+КД=24-12=12.
Так как трапеция равнобедренная, то АН=КД=12/2=6.
Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.
По теореме Пифагора ВН=
Площадь трапеции - это средняя линя(которая равна 12+6=18)×высоту
S=18×

а) В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны. Все стороны ромба равны, суммы противолежащих сторон равны - в любой ромб можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, центр вписанной окружности ромба - пересечения диагоналей (O).

Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам. Треугольник ABO - египетский

AO=AC/2=4, BO=BD/2=3 => AB=5

OH - высота, проведенная из прямого угла

r= OH= AO*BO/AB =4*3/5 =2,4

(Расстояние от центра окружности до касательной - радиус.)

б) Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма противолежащих углов равна 180. В ромбе противолежащие углы равны. Если их сумма 180, то углы прямые и ромб является квадратом. Данный ромб не является квадратом, так как его диагонали не равны. Следовательно около него нельзя описать окружность.

в) BCD - равнобедренный остроугольный. (BD=DC, стороны ромба. Данный ромб не является квадратом, угол BDC - острый.)

г) Синус угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

В треугольнике ABO

sin(ABO)= AO/AB =4/5