Диагонали ромба KMHP пересекаются в точке E. Из точки E к стороне KM проведён перпендикуляр EH. Найдите сторону ромба, если KH=4 см, EH=4\sqrt{3} см.

Если угол Д = углу Ф =45, от угол Е = 180-45-45=90 градусам. Треугольник ДЕФ равнобедренный, т. к. углы при основании равны. Кратчайшее расстояние от точки Е до прямой ДФ - это перпендикуляр ЕН, а в равнобедренном треугольнике высота будет являться медианой (разделит ДФ пополам, ДФ=16,4 / 2 = 8,2 см) и биссектрисой, которая разделит угол Е (=90 градусам) пополам. Угол НЕФ = углу НЕД = 45 градусам. Треугольник ДЕН равнобедренный ДН=НЕ=8,2 см Расстояние от точки Е до прямой ДФ = 8,2 Проекцией наклонной ДЕ на прямую ДФ является отрезок ДН, который = 1/2 ДФ = 8,2 см

 В трапеции АВСD два равнобедренных по условию треугольника : САВ и СDA 
В равнобедренном треугольнике СDА
∠DСА= ∠DАС, но они равны также углу САВ треугольника САВ,  
так как.
∠DСА и ∠САВ - накрестлежащие углы при параллельных  основаниях и секущей -диагонали АС. ( отсюда АС - биссектриса угла DАВ)
∠DАВ= ∠СВА по свойству углов равнобедренной трапеции. 
∠САВ=0,5∠ DАВ= 0,5∠СВА
Продолжим ВС до Е. 
∠ЕСD= ∠СВА ( ВЕ - секущая при СD и АВ). 
∠СВА = ∠ВСА - углы равнобедренного треугольника АВС
Развернутый ∠ЕСВ=180 =2 ∠АВС +0,5∠АВС 
∠ ЕСВ=2,5 ∠ АВС
∠DСВ=∠АDС= ∠СВА+∠DСА= ∠СВА+0,5 ∠АВС=1,5 ∠АВС

∠ВСА= ∠ЕСВ:2,5= 72°.  
∠BСD=∠АDС=72*1,5=108°