АВС, АВ основание. М - основание высоты, К и Р - точки касания боковыз сторон АС и ВС.
x = АМ = АК = МВ = ВР.
СО = 32 - 12 = 20;
Треугольник СОК. гипотенуза 20 катет 12, => второй 16 (опять 3,4,5 :)),
САМ подобен СОК,
x/32 = 12/16; x = 24, стороны АВ = 48; ВС = АС = 40,
удвоенная площадь 2*S = 48*32; вычислять не надо
{R = abc/4S - эта формула получается из S = a*h/2
c учетом h = b*sin(C); и 2*R*sin(C) = c; (это теорема синусов)}
R = 48*40*40/(2*48*32) = 25.
Есть и другой вычисления R. Продлим высоту СМ за основание, и проведем из А перпендикуляр к АС до перпесечения с СМ, точку пересечения обозначим Т.
Тогда АМ^2 = CМ*МТ, МТ = 18; CТ = 50; но это диаметр окружности, проходящей через С и А, и - в силу симметрии, через В, R = 25;
Подробно объясняю.
Если трапецию МОЖНО вписать В окружность, то она равнобедернная (параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, а равным дугам соответствуют равные хорды. То есть БОКОВЫЕ стороны трапеции равны.
Если ВОКРУГ трапеции можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (Это следует из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки. Каждая сторона равна сумме 2 таких отрезков. А суммы противоположных сторон равны сумме всех 4 разлиных отрезков касательных , проведенных из 4 различных вершин. Кстати, это работает не только на трапеции, но и на любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность.)
Поэтому боковая сторона равна полусумме оснований.
А радиус вписанной окружности равен половине высоты (это уже совсем просто - окружность МЕЖДУ 2 параллельными касательными).
Осталось найти высоту.
Опустим перпендикуляр из вершины основания b на а. Расстояние от ближайшего конца а до основания этого перпендикуляра будет (a - b)/2;
Мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2*r, (a - b)/2, (a + b)/2;
Находим отсюда r по теореме Пифагора.
4*r^2 = (a+b)^2/4 - (a-b)^2/4 = a*b;
r = корень(a*b)/2;
