Постройте произвольный треугольник. Возьмите точку внутри треугольника. Найдите расстояние от этой точки до каждой стороны треугольника.​

Треугольники АВ1В и АА1В прямоугольные с общей гипотенузой АВ, значит оба они вписаны в одну окружность с диаметром АВ.
Точка О - центр окружности. АО=ВО=АВ/2=4/2=2.
В тр-ке АА1В1 ОА1=ОВ1=R=2.
По теореме косинусов cos(А1ОВ1)=(ОА1²+ОВ1²-А1В1²)/(2·ОА1·ОВ1)= (2²+2²-(2√3)²)/(2·2·2)=-4/8=-1/2.
∠А1ОВ1=arccos(-1/2)=120°.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают. В нашем случае АС и ВС - секущие, значит:
∠АСВ=(∩АВ-∩А1В1)/2=(180°-120°)/2=30° - это ответ. 

Биссектриса проведённая к основанию равнобедренного тр-ка c боковой сторотой b = 10, является и медианой и высотой h=8.

Найдём основание а по теореме Пифагора:

(0,5а)² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36

0,25а² = 36

а² = 144

а = 12(см)

 

Найдём площадь тр-ка S и полупериметр р

S = 0,5a·h = 0,5·12·8 = 48(см²)

р = (12 + 2·10):2 = 32:2 = 16(см)

 

Радиус описанной окружности

R = а·b·b/(4S) = 12·10·10/(4·48) = 1200:192 = 6,25(см)

Радиус писанной окружности

r = S/p = 48/16 = 3(см)

 

ответ: R = 6,25 см, r = 3см