В плоскостях альфа и бета проведены через точку С линии их пересечения перпендикулярны к ней АС и ВС, равные соответственно 5 см и 8 см. Угол между плоскостями альфа и бета равен 60 градусов. Вычислите:
1) расстояние между концами перпендикуляров;
2) длину проекции перпендикуляра АС на плоскость бета.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть 
c2 = a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).

Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения

Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.

Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).

4

Последняя формула называется формулой Герона.

Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).

Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.

Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)

.

Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).

Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы). 

1. В =40

2. А=С=65

3. В =70, А=С=55

Объяснение:

1. Т.к треугольник равнобедренный, то угол А = углу С =70 градусам. Сумма углов треугольника равна 180, значит угол В = 180 - 70 - 70 = 40 градусов

2. Треугольник равнобедренный, значит углы при основании равны, т.е угол А = углу С.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180, то угол А= углу С =

= (180 - 50) : 2 = 65 градусов

3. угол С смежный с углом 125 градусов. сумма смежных углов равна 180 градусов, значит, угол С= 180 - 125 = 55 градусов

Треугольник АВС равнобедренный, значит угол С=А=55 градусов

Т. к сумма углов треугольника равна 180, то Угол В = 180 - 55 - 55 = 70