Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР;
Есть очень много я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.
Итак, ВЕ II AC;
Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).
Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)
Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;
Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР
Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).
Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то
Sakm = S/4;
Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна
Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;
ответ 12/5;
Вся "хитрость" в том, что эти отрезки 9 и 12 - перпендикулярны, как биссектрисы внутренних односторонних углов. Сумма внутренних односторонних углов 180 градусов, значит сумма половин - 90, поэтому треугольник, образованный боковой стороной и этими отрезками - прямоугольный.
Ясно, что это "египетский" треугольник со сторонами 9,12,15, и высота его равна 9*12/15 = 36/5; (это - радиус окружности, вписанной в трапецию).
Трапеция равнобедренная и в неё вписана окружность, следовательно, ПОЛУпериметр равен р = 15*2 = 30; радиус окружности равен вычисленной высоте треугольника r = 36/5, и площадь S = p*r = 30*36/5 = 36*6 = 216;
