Соединив центры K и М окружностей
между собой и каждый из них с точкой
касания, получим два треугольника с
общей вершиной в точке А на отрезке между
точками касания окружностей с прямой.
Радиус, проведенный к касательной
в точку касания, перпендикулярен ей
( свойство),
Получившиеся прямоугольные треугольники
подобны по равным вертикальным углам и
накрестлежащим у их центров.
Пусть радиус меньшей окружности будет r,
а большей - R, и пусть часть отрезка между
их точками касания у меньшей окружности
будет х.
Тогда отрезок у большей окружности 5-х
( см. рисунок)
Тогда из подобия треугольников следует
отношение:
r:R=x:(5-x)
4:8=x:(5-x)
8х=20-4x
12x=20
х=5/3- длина отрезка у меньшей окружности
5-5/3=10/3 длина отрезка у большей
окружности
По т.Пифагора
KA2=42+(5/13)2
KA2=16+25/9=169/9
KA=13/3
Из треугольника в большей окружности
MA2=82+(10/3)2=676/9
MA=26/3
KA+MA=13/3+26/3=39/3=13
KM=13 см
наверное так
Дан параллелограмм АВСD. Опустим высоту ВН к стороне AD, равной 8. Катет АН образовавшегося прямоугольного треугольника равен 3, так как лежит против угла 30° (острые углы в сумме равны 90°, а один из них равен 60° - дано). Второй катет равен ВН=√(6²-3²)=√27=3√3. Тогда в прямоугольном треугольнике BHD катет HD = AD-AH = 8-3=5, а гипотенуза BD равна по Пифагору: BD = √(BH²+HD²)=√(27+25)=2√13.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Найдем вторую диагональ.
BD²+AC² =2(AB²+BC²) или 52+АС² = 2*100 =200 => АС = √148 = 2√37. 2√37 > 2√13. AC > BD.
ответ: BD = 2√13 см.
А можно диагональ BD (она меньшая, так как в треугольниках АВС и ACD с равными двумя сторонами третья сторона BD лежит против острого угла, а AC - против тупого) найти по теореме косинусов из треугольника АBD: BD² = AB²+AD² - 2*AB*AD*Cos60 = 100-48 = 52.
BD = √52 = 2√13 см.
