Чертежи во вложениях.
1) По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки:
ВК=ВР=8, АР=АМ=12. СМ=СК=х.
По теореме Пифагора в ∆АВС АВ²=АС²+ВС²
20²=(12+х)²+(8+х)²
2х²+40х-192=0
х=-24 - не удовлетворяет условию
х=4
АС=12+4=16, ВС=8+4=12
S∆=1/2*FAC*BC=1/2*16*12=96
ответ:96.
2) Проведем высоты ВМ и СК, ВМ⊥АД и СК⊥АД.
Т.к. трапеция равнобедренная, то углы при большем основании равны, углы при меньшем основании тоже равны.
∆АВМ=∆СКД по гипотенузе и острому углу. Значит, АМ=КД=(АД-ВС):2=(18-10):2=4
В прямоугольном ∆АВМ ВМ=АМtg60°=4√3.
1. Т.к. АН и ВН - биссектрисы, то ∠ВАН=α/2, ∠ВАН=β/2.
Тогда в ∆АВН по теореме о сумме углов треугольника
∠АНВ=180°-(α/2 + β/2) = 180°- (α + β)/2
2. Аналогично первой задачи, получим:
∠А +∠В = 180° - ∠С = 180° - γ
∠АНВ=180°-(∠А/2 +∠В/2) = 180°- (180° - γ)/2 = 90° + γ/2.
3. Возможно ли, что бы одно биссектриса треугольник делила пополам вторую биссектрису?
Я думаю, это не возможно. Если одна биссектриса делила бы другую биссектрису пополам, то эти биссектрисы должны быть перпендикулярны. Такое возможно, например, у ромба.
