Задача 6
В ΔАВС , АВ=ВС, АЕ -биссектриса, Е∈ВС. Найти Р( АВС), если ВС-АС=8 и ВЕ:ЕС=3:2.
Решение.
Пусть одна часть х. Тогда ВЕ=3х, ЕС=2х ⇒ ВС=5х ⇒ АВ=5х , т.к треугольник равнобедренный.
По т. о биссектрисе треугольника 
, тогда 
⇒ AC=
.
По условию ВС-АС=8 , поэтому 5х- = 8 или 
=8 или х=4,8.
ВС=5*4,8=24 , АВ=24 , АС=
.
Р=24+24+16=64.
Задача 8
Стороны треугольника относятся как 2:3:3 . Найти периметр треугольника , если основание на 5 единиц меньше боковой стороны.
Решение .
Дан ΔАВС. АВ=ВС . Пусть одна часть х. Тогда АВ=ВС=3х, АС=2х .
По условию АС меньше АВ на 5, т.е АВ-АС=5.
Получим 3х-2х=5 или х=5 . Тогда АВ=ВС=3*5=15, АС=2*5=10 .
Р=15+15+10=40.
Задача 9
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. , высота , опущенная на основание, равна 6 .Найти периметр треугольника .
Решение .
Дан ΔАВС , АВ=ВС ,ВН⊥АС , ∠АВС=120°.
1) Высота равнобедренного треугольника является биссектрисой ⇒∠АВН=60° .
2) ΔАВН -прямоугольный , по свойству углов ∠А=90°-60°=30°.
Против угла в 30° , лежит катет равный половине гипотенузы , т.е ВН=1/2*АВ ⇒ АВ=12 ⇒ВС=12, т.к треугольник равнобедренный.
По т. Пифагора АН²=АВ²-ВН² или АН²=12²-6² или АН=√18*6=6√3.
3) Высота равнобедренного ΔАВС является медианой, значит АН=НС=6√3 ⇒АС =12√3.
4)Р=12√3+12+12=24+12√3.
A(0;1) , B(2;5) , C(4 ;1) ; D(2; - 3) .
Док-ть четырехугольник ABCD ромб.
Объяснение:
Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то это ромб.
Координаты середины AC : O₁ (2 ;1 )
Координаты середины BD: O₂ (2 ;1 )
середины совпадают O₁ ≡ O₂
AC ( 4; 0) * * * (4-0 ; 1 - 1) * * *
BD ( 0 ; -8) * * * (2 -2 ; -3 -5) * * *
Скалярное произведения векторов AC и BD :
AC * BD = 4*0 +0*(-8) = 0 ⇒ AC ⊥ BD .
