Вариант 1
1. В параллелограмме ABCD BD = 2-/41 см, АС = 26 см,
AD = 16 см. Через точку О точку пересечения диагоналей
параллелограмма - проведена прямая, перпендикулярная сто-
роне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила
сторону AD.

2. В треугольнике АВС АВ = ВС. Высота АК делит сторону
BC на отрезки ВК = 24 см и КС = 1 см. Найдите тре-
угольника и сторону АС.

Вариант 2
1. Две окружности радиусами 13 см и 15 см пересекаются.
Расстояние между их центрами О и О, равно 14 см. Общая хорда
этих окружностей АВ пересекает отрезок О, О, в точке К. Найдите
О К и КО, (О - центр окружности радиусом 13 см).

2. В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и де-
лит сторону АС на два отрезка так, что АМ = 12 см. Найдите
площадь и периметр треугольника.

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. Следовательно,  

1). Xd=(Xa+Xb)/2 => Xa=2*Xd - Xb => Xa= -2-8= -10.

Yd=(Ya+Yb)/2 => Ya=2*Yd - Yb => Ya= 14-5= 9.  Точка А(-10;9)

2). Xb=2*Xd - Xa => Xb=8-3=5. Yb=2*Yd - Ya => Yb= -4-0= -4.  Точка B(5;-4).

Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. В данном нам четырехугольнике сторона АВ=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)=√((-7-2)²+(0-(-5))²)=√(81+25)=√106.

CD=√((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)=√((3-(-6))²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.

Итак, противоположные стороны АВ и CD равны. Условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть  их отношение должно быть равно. В нашем случае вектора АВ и CD имеют координаты: АВ{-9;5}, a CD{9;-5}. Xab/Xcd=Yab/Ycd= -1, то есть АВ параллельна CD.

Таким образом, четырехугольник АBCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.

Так как по условию xm+yn=5n, тоxm =(5-y)n
если x не равно 0, то разделив левую и правую части уравнения на x, получим
m =((5-y)/x) n, где ((5-y)/x) какое-то число.

По условию коллинеарности:Два вектора a и b коллинеарны, если существует число не равное нулю n такое, что a = n · b
Следовательно, если a и b не коллинеарны то такого числа не существует.
А в нашем примере такое число есть (при x не равном 0).
Следовательно если x не равно 0, то векторы коллинеарны.
А так как по условию они не коллинеарны, то x = 0. Тогда и y = 0.
ответ: x = 0 и y = 0