Номер 305
В АВС A = 30°, B = 45; высота BD = 3/2 см. Найдите стороны треугольника.

a) Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

ACB=∪AB/2

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

KAB=∪AB/2

Следовательно ACB=KAB

б) CAB=KBA (накрест лежащие при AC||KB)

△ACB~△BAK (по двум углам)

△ACB - равнобедренный => △BAK - равнобедренный

(AC/BA=BC/KA, AC=BC => BA=KA)

в) Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия (то есть отношению соответствующих сторон).

S(ACB)/S(BAK)= (AC/AB)^2

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов - если известны углы, то известно и отношение сторон. В равнобедренном треугольнике достаточно знать один угол (и его расположение), чтобы найти остальные углы. Таким образом в равнобедренном треугольнике ACB достаточно знать угол C, чтобы найти отношение сторон AB и AC.

(Высота CH является медианой и биссектрисой.

CHA=90, AH=AB/2, ACH=C/2

AH/AC =sin ACH => AB/AC =2sin C/2)

Сумма углов выпуклого многоугольника находится по формуле:
N=180°• (n – 2), где N - сумма углов,   n - их количество ( а, значит, и число сторон многоугольника). 
Но известно, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, причем, с каждым внутренним углом внешний составит в сумме развернутый угол, т.е. 180°. 
Очевидно, что сумма всех внутренних и внешних углов кратна числу 180°. 
Тогда число сторон данного выпуклого многоугольника 
(2160°+360°):180°=14 

Теперь вычислим то же число по формуле:
2160°=180°• (n – 2),
2160°=180°•n-360 
180°•n=2160°+360°⇒
n=2520°:180°=14 (сторон)