S = 544 ед²
Объяснение:
Треугольник АВС. Медианы АР и ВН, пересекаясь в точке О, образуют прямоугольные треугольники АОН и ВОР.
В треугольнике АОН по Пифагору: АН² = АО² + ОН², а в треугольнике ВОВ - ВР² = ВО² + ОР².
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. =>
АО =(2/3)*АР; ОР = (1/3)*АР; ОН = (1/3)*ВН.
Тогда по Пифагору: АН² = (2*АР/3)² + (ВН/3)² =>
9*АН² = 4*АР² + ВН² (1) . Аналогично
9*ВР² = АР² + 4*ВН² (2) .
АН = АС/2 =22 ед. ВР = ВС/2 =14 ед. ( Так как АР и ВН - медианы).
Решая систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными, получаем:
ВН² = 180; АР² = 1044. Подставляем эти значения в уравнение: АВ² = ВО² + АО² (по Пифагору в треугольнике АВО ), получим:
АВ² = (4/9)*(ВН² + АР²) = 4*(180+1044)/9 = 544 ед².
Это и есть площадь квадрата со стороной АВ.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
