10
Объяснение:
Проведем прямую BC и MN до точки пересечения (они обе лежат в плоскости ромба ABCD). Точку пересечения обозначим O.
Теперь проведем прямую OK, она пересечет прямую BP в некоторой точке S.
Рассмотрим треугольники DMN и CMO. В них углы DMN и CMO - вертикальные, поэтому равны, CM = MD по условию, углы MND и MOC - накрест лежащие при параллельных прямых, а значит тоже равны.
Треугольники DMN и CMO равны по двум углам и стороне, а значит CO = DN = AB/2 = 8/2 = 4.
Треугольник KCO - прямоугольный с прямым углом C и катетами CK = 3, CO = 4 - египетский треугольник, KO = 5.
Рассмотрим треугольники BOS и COK, BS параллельна CK, треугольники подобны, коэффициент подобия:
BO/CO = (8+4)/4 = 3
Тогда:
BS = CK*3 = 3*3 = 9
BS = BP следовательно точка пересечения прямой OK с прямой BP (S) совпадает с точкой P.
OP = OK*3 = 15
KP = OP-OK = 15-5 = 10
280
Объяснение:
пирамида - MPQS
QS = 13
РQ = 15
PS = 4
PS = 37
MQ - высота пирамиды
из треугольника РQS
РQ² = (15)² = 225
PS² +QS² = (4)² + (13)² = 185
РQ²>PS² +QS² =>
треугольник QSP тупоугольный
=>
высота, проведенная к стороне PS - лежит вне треугольника
(дополнительное построение)
QH⊥PS
QН - проекция MH на плоскость основания
=>
MH⊥PS - по теореме трех перпендикулярах
найдем половину периметра треугольника РQS
P = (PQ+PS+QS)/2 = (15+4+13)/2 = 32/2 = 16 ед.
Найдем площадь ΔАВС
(использована формула Герона)
кв.ед.
найдем высоту QH
с формулы для нахождения площади треугольника
S = 1/2 · PS · QH
QH = (2 · S)/PS = 48/4 = 12 ед.
Из прямоугольного треугольника MQH
по теореме Пифагора
c² = a² + b²
a² = c² - b²
MQ² = MH² - QH²
MQ = √(MH² - QH²)
MQ = √(37² - 12²) = √((37 - 12)·(37 + 12)) = √(25 · 49) = 5 · 7 = 35 ед.
Находим объем пирамиды
V = 1/3 · S · MQ = 1/3 · 24 · 35 = 280 ³ ед.
