Задание № 1. К каждому четырёхугольнику подберите соответствующие ему свойства (укажите только номер свойства)

Параллелограмм

Ромб

Квадрат

Прямоугольник

Трапеция

1. Диагонали равны.

2. Противоположные стороны попарно параллельны.

3. Диагонали перпендикулярны.

4. Все углы прямые.

5. Противоположные углы равны.

6. Диагонали являются биссектрисами углов.

7. Все стороны равны.

8. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

9. Диагональ разбивает на два равных треугольника.

10. Только две противоположные стороны параллельны.

Задание № 2. Дайте определение следующим понятиям, указав обобщающее понятие и отличительные признаки.

Остроугольный треугольник, параллелограмм, высота треугольника, биссектриса, медиана, ромб, равнобедренный треугольник.

Задание № 3. Соотнесите понятия с определениями.

1) Многоугольник

2) Абсцисса точки

3) Ромб

4) Процент

5) Пересекающиеся прямые

6) Противоположные числа

7) Модуль числа

8) Диагональ

9) Функция

10) Уравнение

a) отрезок прямой, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне.

b) прямые, имеющие только одну общую точку.

c) равенство, которое содержит неизвестное.

d) это зависимость одной переменной величины от другой.

e) одна сотая часть.

f) координата этой точки на оси оX в прямоугольной системе координат

g) фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.

h) параллелограмм, у которого все стороны равны.

i) расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки, соответствующей данному числу.

j) числа, отличающиеся друг от друга только знаками.

Задание № 4. Ниже приведён ряд некорректных определений. Определи, в чём состоят допущенные в них ошибки. Исправь эти ошибки и сформулируй корректные определения. При необходимости сделай чертёж или приведи примеры

1. Две прямые, имеющие только одну общую точку, называются перпендикулярными прямыми.

2. Высотой треугольника называется отрезок, проведённый из его вершины к стороне.

3. Четырёхугольник с равными сторонами называется квадратом.

4. Диаметром окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

5. Прямоугольным треугольником называется такой треугольник, у которого все углы прямые.

6. Треугольник с острым углом называется остроугольным.

7. Натуральное число, имеющее только один делитель, называется числом.

8. Неправильной дробью называется дробь, числитель которой больше знаменателя.

9. Составным числом называется число, имеющее три делителя.

10. Треугольник, все углы которого являются тупыми называется тупоугольным.

Строго говоря, теорема Птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если честно, я ни разу не встречал задачу, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. Предлагаю в таком виде теорему и формулировать.

Теорема Птолемея.  Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон

                               AC·BD=AB·CD+AD·BC.

Меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они расположены. Вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и дало толчок к моему доказательству. 

Найдем площадь ABCD двумя

Во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна.

Доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины, 

Если обозначить угол между диагоналями буквой Ф, то 

                                S=(1/2)AC·BD·sin Ф

Угол Ф - это угол между хордами AC и BD, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это. 

Во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. Выйдем из положения не совсем обычным Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (останется нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC другой стороной и "приклеим" на старое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и хотите "математическое рассуждение", то вот оно. Рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B относительно этого диаметра. Конечно, она снова лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Иными словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. Тогда 

S_(ABCD)=S_(AB'CD)=S_(AB'D)+S_(B'CD)=
(1/2)AB'·ADsin DAB'+(1/2)B'C·CDsin B'CD

Во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому 

S_(ABCD)=(1/2)(AB'·AD+B'C·CD)sin DAB'=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DAC+CAB')=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DBC+BCA)=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin Ф

(углы DAC и DBC опираются на одну дугу и поэтому равны,
углы CAB' и BCA опираются на равные хорды B'C и AB и поэтому равны). 

Сравнив две полученные формулы для площади ABCD, получаем искомую формулу.

Пример на использование  теоремы Птолемея. 

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, ∠ADC=90°. Найти BD.

Решение. ∠ADC=90°⇒∠ABC=90°, то есть ABCD разбит диагональю AC на два прямоугольных треугольника. С теоремы Пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: BC=√3; CD=8/5.
По теореме Птолемея BD·AC=AB·CD+BC·AD;
2BD=8/5+6√3/5; BD=(4+3√3)/5

Заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не сейчас сделать чертеж - очень много дел запланировано на этот вечер. Если кто-нибудь сделает мне его - отдам все заработанные на этой задаче .)))

Строго говоря, теорема Птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если честно, я ни разу не встречал задачу, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. Предлагаю в таком виде теорему и формулировать.

Теорема Птолемея.  Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон

                               AC·BD=AB·CD+AD·BC.

Меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они расположены. Вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и дало толчок к моему доказательству. 

Найдем площадь ABCD двумя

Во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна.

Доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины, 

Если обозначить угол между диагоналями буквой Ф, то 

                                S=(1/2)AC·BD·sin Ф

Угол Ф - это угол между хордами AC и BD, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это. 

Во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. Выйдем из положения не совсем обычным Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (останется нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC другой стороной и "приклеим" на старое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и хотите "математическое рассуждение", то вот оно. Рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B относительно этого диаметра. Конечно, она снова лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Иными словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. Тогда 

S_(ABCD)=S_(AB'CD)=S_(AB'D)+S_(B'CD)=
(1/2)AB'·ADsin DAB'+(1/2)B'C·CDsin B'CD

Во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому 

S_(ABCD)=(1/2)(AB'·AD+B'C·CD)sin DAB'=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DAC+CAB')=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin (DBC+BCA)=
(1/2)(BC·AD+AB·CD)sin Ф

(углы DAC и DBC опираются на одну дугу и поэтому равны,
углы CAB' и BCA опираются на равные хорды B'C и AB и поэтому равны). 

Сравнив две полученные формулы для площади ABCD, получаем искомую формулу.

Пример на использование  теоремы Птолемея. 

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, ∠ADC=90°. Найти BD.

Решение. ∠ADC=90°⇒∠ABC=90°, то есть ABCD разбит диагональю AC на два прямоугольных треугольника. С теоремы Пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: BC=√3; CD=8/5.
По теореме Птолемея BD·AC=AB·CD+BC·AD;
2BD=8/5+6√3/5; BD=(4+3√3)/5

Заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не сейчас сделать чертеж - очень много дел запланировано на этот вечер. Если кто-нибудь сделает мне его - отдам все заработанные на этой задаче .)))