Меньшая окружность проходит через 3 вершины, одна из который - острый угол, а две - вершины тупых углов. Острый угол является вписанным в эту окружность. И, наоборот, большая окружность проходит через вершину острого угола, потом- тупого, и - опять острого. В большую окружность вписан тупой угол.
r = 3; R = 4; a = ?
Обозначим за Ф половину тупого угла ромба. В треугольнике, вписанном в малую окружность, это будет острый угол, противолежащий стороне а;
Тогда по теореме синусов
a = 2*r*sin(Ф); sin(Ф) = a/(2*r);
Для тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в большую окружность, угол при основании (противолежащий стороне а) равен (180 - 2*Ф)/2 = 90 - Ф;
Поэтому по той же теореме синусов
a = 2*R*sin(90 - Ф) = 2*R*cos(Ф); cos(Ф) = a/(2*R);
Осталось возвести это в квадрат и сложить
1 = a^2/(2*r)^2 + a^2/(2*R)^2; (2/a)^2 = 1/r^2 + 1/R^2;
Подставляем r = 3; R = 4; получаем а = 24/5
Столько очков за то, чтобы поделить 260 на 5
Я так понял, что формула S = P*r/2 автору задачи незнакома. На самом деле она получается очень просто - центр вписанной окружности соединяется с вершинами, и площадь треугольника равна сумме площадей трех получившихся. У этих треугольников радиус вписанной окружности играет роль высоты, опущеной на сторону исходного треугольника, поэтому площадь треугольника равна
S = (a + b + c)*r/2, где a b c - стороны, r - радиус вписанной окружности.
Поэтому P = 2*S/r = 260/5 = 52.
