В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90°, AB=10см, BC=5см. Найдите углы, на которые высота CH делит прямой угол.

Теорема . три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. доказательство: пусть abc - данный треугольник . пусть прямые, содержащие высоты ap и bq треугольника abc пересекаются в точке o. проведем через точку a прямую, параллельную отрезку bc, через точку b прямую, параллельную отрезку ac, а через точку c - прямую, параллельную отрезку ab. все эти прямые попарно пересекаются. пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам ac и bc - точка m, точка пересечения прямых, параллельных сторонам ab и bc - точка l, а прямых, параллельным ab и ac - точка k. точки klm не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ml совпадала бы с прямой mk, а значит, прямая bc была бы параллельна прямой ac, или совпадала бы с ней, то есть точки a, b и c лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . итак, точки k, l, m составляют треугольник. ma параллельно bc, и mb параллельно ac по построению. а значит, четырёхугольник macb - параллелограмм. следовательно, ma = bc, mb = ac. аналогично al = bc = ma, bk = ac = mb, kc = ab = cl. значит, ap и bq - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника klm. они пересекаются в точке o, а значит, co - тоже срединный перпендикуляр. co перпендикулярно kl, kl параллельно ab, а значит co перпендикулярно ab. пусть r - точка пересечения ab и cq. тогда cr перпендикулярно ab, то есть cr - это высота треугольника abc. точка o принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника abc. значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. что и требовалось доказать. может правильно )

Даны четыре точки -  три из них всегда лежат в одной плоскости. Пусть это будут точки А, В и С. Тогда четвертая точка  - D - не лежит в этой плоскости.

Рисунок к задаче в приложении. Получили пирамиду. У неё четыре вершины. В каждой вершине пересекаются 3 пары рёбер. Всего пересекающихся пар прямых будет: N = 4*3  = 12 .

Запишем такие пары прямых:

ABxAC, ABxAD, ACxAD - три из вершины А.

BAxBD, BAxBC, BCxDD - три из вершины В.

CAxCB, CBxCD, CAxCD - три из вершины С.

DAxDB, DBxDC, DCxDA - три из вершины D.

А вот прямые AD и BC - не пересекаются.