Трапеция ABCD, с основаниями AB и CD, вписана в окружность. Диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB. Пусть AA1 также диаметр окружности. Найдите угол ∠BAD трапеции ABCD, если угол ∠CDB вдвое меньше угла ∠ADB.

Значит так. Чертим прямоугольный треугольник. 
Решение: Рассмотрим треугольник ACH: Так как CH - высота,то этот треугольник прямоугольный. Следовательно CH - катет и мы находим его по теореме Пифагора: CH = √6^²-4^² = √36-16 = √20 = 2√5
Я предлагаю рассмотреть треугольник ABC и найти x через CB(не знаю можно ли так,как я решил,но я запишу)
AB=4+x
CB=√AB²-AC² = √(4-x)²-6² = √x²-10x-20 
Разбираем квадратичное уравнение:
x²-10x-20=0
D= 100+4*20=180 √D= 6√5
 x_{12} = 5+-3√5
x2 - не подходит,так как получается отрицательным,поэтому BH = 5+3√5.
ответ: 5+3√5

Теория:

Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему.

Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две стороны равны.

Биссектриса - луч, исходящий из середины угла, делящий угол пополам.

Доказательство:

1) При построении чертежа получили прямоугольные треугольники ΔВМО и ΔВКО (см.чертёж). Исходя из равенства АВ и ВС (р/б ΔАВС) получим, что при условии АМ=МВ (ОМ - серединный перпен-яр) и ВК=КС (ОК - серединный перпен-яр), МВ так же = ВК.

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔВМО и ΔВКО. У них есть общая гипотенуза ВО и два равных катета ВМ и ВК. Значит, ΔВМО=ΔВКО по гипотенузе и катету.

3) В равных треугольниках соответственные углы равны. Значит, ∠МВО=∠КВО. Следствие: ВО - биссектриса ∠АВС (ч. и т.д.).