Решите на карантин задали, а как решать незнаю) 0)0#

А) Вектор СА+СВ=СF (диагональ параллелограмма, построенного на векторах СА и СВ).
CЕ=(1/2)*СF, так как точка Е - пересечение диагоналей параллелограмма.
СО=(2/3)*СЕ - так как точка О - центр правильного треугольника АВС, а
СЕ - медиана этого треугольника.
Значит СО=(2/3)*(1/2)*СF. Или СО=(1/3)(СА+СВ).
Следовательно, вектор DC+(1/3)*(CA+CB)=DO.
Вектор DO - это высота тетраэдра.
СО=(2/3)*СЕ =√(CВ²-ВЕ²)=√(a²-a²/4)=a√3/3.
DO=√(DC²-CO²)=√(a²-a²/3)=a√(2/3) = (a*√6)/3. Это ответ.

б) Вектор DO-(1/2)*DA - это вектор GO, так как для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Модуль вектора GO - это его длина. ОG - медиана в прямоугольном треугольнике DOA, проведенная из прямого угла. Следовательно, GO=(1/2)*AD (половина гипотенузы) или GO=a/2.
ответ: |DO-(1/2)*DA|=a/2.

  По одной из формул: площадь  треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между ними.

 При пересечении диагоналей вертикальные углы равны.

Пусть ∠АОВ=∠DOC=α Тогда смежные им ∠DOA=∠BOC=180°- α.  sinα=sin(180°- α)

Примем АО=а, ВО=b, СО=с, DO=d. Тогда:

        S(AOB)=a•b•sinα/2

       Ѕ(DOC)=d•c•sinα/2

S(AOB)•Ѕ(DOC)=a•b•c•d•sin²α/4

        S(AOD)=a•d•sinα/2

        S(BOC)=b•c•sinα /2

S(AOD)•S(BOC)=a•d•b•c•sin²α/4

        a•b•c•d•sin²α/4 =a•d•b•c•sin²α/4 ⇒

S(AOB)•Ѕ(DOC)= S(AOD)•S(BOC), что и требовалось доказать.