Тема. Касательная к окружности

Цель урока. Изучить свойство касательной к окружности. Выучить свойство двух касательных к окружности, проведённых из одной точки. Научиться строить касательную к окружности через заданную точку окружности.

Ход урока.

I. Актуализация опорных знаний

Как могут взаимно располагаться прямая и окружность? (начертите)

Если d больше r, , то прямая и окружность .

Если d меньше r, то прямая и окружность .

Если d равно r, , то прямая и окружность .

Вспомните определение касательной.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

II. 1) п.69, прочитать, перечертить рис. 212 и записать формулировку теоремы (свойство касательной).

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2) п. 69, перечертить рис. 213 и записать формулировку свойства

Отрезки касательных к окружности, прведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3) Записать формулировку признака касательной.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

III. Выучить алгоритм построения касательной к окружности.

Дано: окружность, О - центр, А - лежит на окружности.

Построить касательную к окружности в точке А.

Построение:

1. ОА – прямая.

2. От точки А отложим О1А=ОА.

3.Из точек О1 и О проведём окружности, радиусом большим ОА.

4.Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.

Прямая а будет касательной по определению.

​

соседние углы параллелограмма - односторонние углы.. сумма односторонних углов равна 180.

отметим углы как х и у.

х+у = 180

проведем биссектрисы , они делять углы пополам..

получается треугольник. 1-й угол = х/2, 2-й угол = у/2 а третий угол отметим как z

тогда х/2 + у/2 + z = 180 (сумма углов треугольника равна 180)

зная  х+у = 180 найдем выражение х/2 + у/2

отсюда х/2 + у/2 = 90

значит х/2 + у/2 + z = 180, 90 + z = 180 , z = 180 - 90 = 90 , значит 3-й угол треугольника равен 90 градусам, т.е биссектрисы перпендикулярны

1) сумма углов треугольника 180 гр.

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие,( при секущей BC и параллельными прямыми AC и BD). => сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. 

2)Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные угольники равны.

 построим два прямоугольных треугольника АВС и А'В'С', у которых углы С и С' — прямые, катеты АС и A'C' равны,  гипотенузы АВ и А'В' также равны.

Проведём прямую MN и отметим на ней точку С, из этой точки проведём перпендикуляр СК к прямой MN. Затем прямой угол треугольника ABC наложим на прямой угол КСМ так, чтобы вершины их совместились и катет АС пошёл по лучу СК, тогда катет ВС пойдёт по лучу СМ. Прямой угол треугольника А'В'С' наложим на прямой угол KCN так, чтобы вершины их совместились и катет А'С' пошёл по лучу СК, тогда катет С'В' пойдёт по лучу CN. Вершины А и А' совпадут вследствие равенства катетов АС и А'С'.

Треугольники АВС и А'В'С' составят вместе равнобедренный треугольник ВАВ', в котором АС окажется высотой и биссектрисой, а значит и осью симметрии треугольника ВАВ' Из этого следует, что /\ АВС = /\ А'В'С'.

3)угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике 
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. 
Отсюда следует 
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD 

4)
Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

5)

Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.

Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС.Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и больше угла A.