223. Угол между векторами а и b равен 120°, |а|= |b|=1.
Найдите скалярное произведение (а + 2b)(a -b).

Добрый день! Давайте решим эту задачу пошагово.

Вначале мы знаем, что угол между двумя векторами a и b равен 120 градусам, и что длины (модули) этих векторов равны 1.

Первый шаг: Найдем величины векторов a и b. Так как модули этих векторов равны 1, то вектор a можно записать как a = 1 * (cos(α), sin(α)), где α это величина угла между вектором а и положительным направлением оси X. Аналогично, вектор b можно записать как b = 1 * (cos(β), sin(β)), где β это величина угла между вектором b и положительным направлением оси X.

Второй шаг: Найдем значение скалярного произведения (а + 2b)(а - b). Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется как произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними. Давайте распишем выражение (а + 2b)(а - b), заменив вектора a и b на их значения из первого шага:

(а + 2b)(а - b) = (1 * (cos(α), sin(α)) + 2 * 1 * (cos(β), sin(β))) * (1 * (cos(α), sin(α)) - 1 * (cos(β), sin(β))) = ((cos(α), sin(α)) + 2 * (cos(β), sin(β))) * (cos(α), sin(α)) - (cos(β), sin(β))) = (cos(α) + 2 * cos(β), sin(α) + 2 * sin(β)) * (cos(α), sin(α)) - (cos(β), sin(β)))

Третий шаг: Вычислим скалярное произведение векторов (cos(α) + 2 * cos(β), sin(α) + 2 * sin(β)) и (cos(α), sin(α)) - (cos(β), sin(β)). Для этого умножим соответствующие компоненты этих векторов и сложим полученные произведения:

(cos(α) + 2 * cos(β)) * cos(α) + (sin(α) + 2 * sin(β)) * sin(α) - (cos(β)) * cos(α) - (sin(β)) * sin(α)

Четвёртый шаг: Упростим полученное выражение, используя тригонометрические тождества:

cos(α) * cos(α) + 2 * cos(β) * cos(α) + sin(α) * sin(α) + 2 * sin(β) * sin(α) - cos(β) * cos(α) - sin(β) * sin(α)

cos^2(α) + sin^2(α) + 2 * cos(β) * cos(α) + 2 * sin(β) * sin(α) - cos(β) * cos(α) - sin(β) * sin(α)

Единица и sin^2(α) + cos^2(α) равны 1, поэтому выражение упрощается до:

1 + 2 * cos(β) * cos(α) + 2 * sin(β) * sin(α) - cos(β) * cos(α) - sin(β) * sin(α)

Пятый шаг: Соберем слагаемые с cos(β) * cos(α) и sin(β) * sin(α) вместе:

1 - (1 - cos(β) * cos(α)) + (2 * sin(β) * sin(α))

2 * cos(β) * cos(α) + 2 * sin(β) * sin(α)

Шестой шаг: Используем формулу для сложения косинусов и синусов:

2 * cos(β) * cos(α) + 2 * sin(β) * sin(α) = 2 * cos(β + α)

Ответ: Скалярное произведение (а + 2b)(а -b) равно 2 * cos(β + α).

Это детальное решение должно помочь школьнику понять процесс решения данной задачи. Если у него возникнут вопросы или нужны дополнительные объяснения, я готов их оказать.