ДАЮ 20б

Производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций представлены в таблице в предыдущей теме (см. файл Производная функции). Рассмотрим примеры

1) Y=4*sinx, Y’=4*cosx

2) Y=ex+5x, y’=ex+5

3) Y=sinx*cosx, используем правило производной произведения двух функций:

y’=(sinx)’*cosx+sinx*(cosx)’=cos2x-sin2x

4) Y=sinx/(2x), применяем правило производной частного двух функций:

y’=((sinx)’*2x-sinx*(2x)’)/(4x2)=(2x*cosx-2*sinx)/(8x)

Производная сложной функции

Сложная функция- если y=f(u), а u=g(x). Производная сложной функции вычисляется по следующему правилу Y’= f ’(U) * U’

Примеры:

1) Y=(x2+1)3=U3, где U=x2+1

Y’=( U3)’ * (x2+1)’=3U2*2x=3(x2+1)2*2x

2) Y=sin(2x+5)=sin(U), где U=2x+5

Y’=(sinU)’ * (2x+5)’= cosU*2=2cos(2x+5)

Т.е. когда производная f ’(U) найдена, вместо U подставляют ее выражение

Производная высших порядков

Производную функции можно брать несколько раз, поэтому говорят не только о первой, но и о второй, третьей и т.д. производных. Пример:

Y=x4, Y’=4x3, Y’’=12x2, Y’’’=24x

Производная высших порядков

Производную функции можно брать несколько раз, поэтому говорят не только о первой, но и о второй, третьей и т.д. производных. Пример:

Y=x4, Y’=4x3, Y’’=12x2, Y’’’=24x

Задачи:

1) Найти первую, вторую и третью производную функции y=1/x

2) Найти производную следующих функций:

a. Y= ex * 5x (произведение двух функций)

b. Y= e2x+1 (сложная функция)

c. Y= ln(x2-1) (сложная функция)

d. Y= 4cosx+2sinx (сумма двух функций)

e. Y= (x2+3x+1)2 (сложная функция)

f. Y= tg(3x+5) (сложная функция)

Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Исследовать функции на монотонность и экстремумы:

1) y=3x/(1+x2)

2) y=x3/3 – 5x2/2 + 6x

3) y=2x-x3/6