1. Дано куб ABCD A1B1C1D1, ребро которого равно 5 см. Найдите расстояние от прямой B1D1, до плоскости ABC

​

Если нельзя применить теоремы синусов и косинусов, то, скорее всего, можно применить теорему Пифагора.

Пусть высота треугольника АВС из точки А равна Н.

Опустим из основания биссектрисы перпендикуляр h на сторону ВС.

Из подобия треугольников имеем h/H = 4/20 = 1/5,

По Пифагору находим:

Н = √(20² - (5/2)²) = √(400 - (25/4) = √(375/4) = 15√7/2.

Теперь получаем: h = (1/5)*(15√7/2) = 3√7/2.

Длину биссектрисы L тоже определяем по Пифагору.

Проекция её на ВС равна (5/2) + (4/5)*(5/2) = 9/2.

L = √((9/2)² + h²) = √((81/4) + (63/4)) = √(144/4 = √36 = 6.

ответ: длина биссектрисы равна 6.

Шаровой сектор - это конус и шаровой сегмент.
Радиус конуса r, его высота H и радиус шара R образуют прямоугольный треугольник. Высота конуса из т. Пифагора
H^2 = R^2 - r^2 = 75^2 - 60^2 = 5625 - 3600 = 2025 = 45^2
H = 45
Объем конуса
V(кон) = 1/3*pi*r^2*H = 1/3*pi*60^2*45 = 3600*15*pi = 54000pi.
Радиус шарового сегмента r = 60, а его высота h = R - H = 75 - 45 = 30.
V(шс) = pi*h^2*(R - h/3) = pi*30^2*(75 - 30/3) = pi*900*65 = 58500pi.
Объем шарового сектора равен сумме этих объемов.
V = V(кон) + V(шс) = 54000pi + 58500pi = 112500pi