1)Дано трикутник АВС, точка М - середина АВ, точка N- середина ВС, точка К-середина АС. Укажіть відрізок, у який переходить відрізок ВС внаслідок гомотетії з центром у точці А і коефіцієнтом 0,5
2)
Знайди координати точки, відносно якої симетричні точки А(2;3) і В(-8;7).

Проще всего представить треугольник АВС равнобедренным с основанием в 10 см и высотой в 5 см.
Боковые стороны равны по 5√2 см.
Тогда его площадь соответствует заданию:
S = (1/2)*10*5 = 25 см².
Углы при основании равны 45 градусов, при вершине - 90 градусов.
По заданию АР = (4/5)*5√2 = 4√2 см.
                    PB = (1/5)*5√2 = √2 см.
                    BQ = AP = 4√2 см,
                    QC = PB = √2 см.
                    RC = (4/5)*10 = 8 см,
                    AR = 10 - 8 = 2 см.   
Теперь можно определить длины сторон искомого треугольника PQR.
PQ = √(√2)²+(4√2)²) = √(2+32) = √34  ≈  5,83095189 см.
PR = √(2²+(4√2)²-2*2*4√2*cos45°) = √20 = 2√5 ≈  4,472136 см.
RQ = √((√2)²+8²-2*√2*8*cos45°) = √50  ≈  7,0710678 см.
Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника PQR.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). где р - полупериметр, р =  8,6870778 см.
Подставив данные, получаем S = 13 см².

Дан равнобедренный ΔABC, AB — основание. ∠A = ∠B.

1-й случай: биссектриса угла при основании (AD), высота из вершины на основание тр-ка (CH). ∠AEH = 75°.

Так как CH — высота, тогда ΔAEH — прямоугольный, ∠AHE = 90° (EH ∈ CH)

∠EAH = 90°−∠AEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠EAH×2 = 15°×2 = 30°

2-й случай: биссектриса угла при основании (AD), высота из противоположного угла при основании тр-ка (BH). ∠AEH = 75°.

Так как BH — высота, тогда ΔAEH — прямоугольный, ∠AHE = 90° (EH ∈ BH)

∠EAH = 90°−∠AEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠EAH×2 = 15°×2 = 30°

3-й случай: биссектриса угла при вершине (CD), высота из угла при основании тр-ка (AH). ∠CEH = 75°.

CD — биссектриса, и высота и медиана, т.к. опущена из вершины на основание равнобедренного тр-ка.

Так как AH — высота, тогда ΔCEH — прямоугольный, ∠CHE = 90° (EH ∈ AH)

∠ECH = 90°−∠CEH = 90°−75° = 15°

∠A = ∠B = 90°−∠ECH = 90°−15° = 75° (т.к. ΔCBD — прямоугольный, ∠CDB = 90°).

ответ: угол при основании данного треугольника может быть равен 15° или 75°.