задача
На основании AB равнобедренного треугольника ABC произвольно взяли точку M.
Доказать, что AM меньше боковой стороны.

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Правильная четырехугольная пирамида с плоским углом при вершине 60°, => боковые грани пирамиды правильные треугольники со стороной m=5 см.
V=(1/3)*Sосн*H
Sосн=m², Sосн=25 см²
1. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - d диагональ квадрата - основания пирамиды
катеты -стороны квадрата m=5 см
по теореме Пифагора: d²=m²+m²
d²=50
2. прямоугольный треугольник:
гипотенуза - боковое ребро пирамиды m=5 см
катет - высота пирамиды Н
катет - (1/2)d
по теореме Пифагора:
Н²=m²-(d/2)², H²=25-50/4. H²=50/4. H=5√2/2
V=(1/3)*25*5√2/2
V=125√2/6 см³