Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, где AB = 2√3, BC = 2√6. Основание высоты пирамиды - это центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ к ребру SB. 1. Докажите, что P - середина отрезка BQ 2. Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 6
Боковые ребра пирамиды равны (так как вершина проецируется в центр основания). Значит АS=BS=CS=DS=6. Грани - равнобедренные треугольники. а) Рассмотрим равнобедренный треугольник АSВ. В нем высота SH1, опущенная на основание AB по Пифагору равна SH1=√(SA²-AH1²)= √33. Соответственно, площадь грани АSB равна Sasb=(1/2)*AB*SH1=√99. Тогда АМ (высота к боковой стороне BS) равна АP=2Sasb/SB или АP=2√99/6=√99/3. МВ по Пифагору равно PВ=√(АВ²-АP²) или PВ=√(12-99/9)=√(9/9)=1. Точно также в треугольнике ВSC имеем: SH2=√(36-6)=√30. Sbsc=(1/2)*BC*SH2=√6*√30=6√5. CQ=2Sbsc/SC или CQ=2√5. Тогда BQ=√(BC²-CQ²) или BQ=√(24-20)=√4=2. Итак, доказано, что BQ=2*BP, то есть точка P - середина BQ.
б) Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Возьмем на ребре BS точку Р и проведем из нее в гранях ASB и CSB перпендикуляры. Один из них нам уже знаком - это отрезок АP. Второй - отрезок РK, который будет параллелен отрезку СQ и равен его половине (так как PK - средняя линия треугольника BQC, поскольку точка P - середина отрезка BQ - доказано выше). По Пифагору АK=√(АВ²+ВK²) или АK=√(12+6)=3√2. Тогда по теореме косинусов искомый угол АPK равен: Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. Или Cosα = (АP²+PK²-AK²)/2*АP*PK. Cosα = (99/9+5-18)/(2*(√99/3)*(√5))=-2/81,97=-0,135. Мскомый угол равен arccos(-0,135) или α≈97,76°.
Строим угол А. На одной его стороне откладываем произвольный отрезок АВ1, На другой стороне откладываем отрезок АС1 = (АВ1)*к. Проводим отрезок В1С1. От точки В на этом отрезке откладываем заданную сторону а - это отрезок В1С2. Из точки С2 проводим прямую, параллельную АВ1 до пересечения с другой стороной угла. Это будет вершина С заданного треугольника. Из точки С проводим прямую, параллельную В1С1 до пересечения с второй стороной угла. Это точка В. Заданный треугольник построен.
Построение основано на принципе подобия треугольников.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
