В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC со сторонами a, b, c длины соответствующих медиан равны ma, mb, mc. Рассмотрим 7 величин:

(b+c)/2,
|b−c|/2,
ma,
3(b+c)/2,
a/2,
mb+mc,
(b+c)/2+a.
Упорядочите их в порядке убывания.

В качестве ответа введите в нужном порядке числа от 1 до 7 через пробел (например, «1 7 2 6 3 5 4»)..

По т.Пифагора найдём гипотенузу. 

АС=√(BC²+AC²)=√(256+144)=20 см

Высоту BO проще всего найти из площади треугольника. 

S=BC•AB/2

S=BO•AC/2 Следовательно, 

BC•AB=BO•AC, откуда 

BO=BC•AB:AC

BO=16•12:20=9,6 см

-----

Вариант решения ( несколько длиннее) - его алгоритм  дан ниже. 

1) Находим гипотенузу по т.Пифагора 

2) Катет прямоугольного треугольника  – среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на неё. ⇒

АВ²=АС•АО, ⇒ АО=АВ²:АС  Отрезок СО находим вычитанием АО из гипотенузы или тем же что АО. 

3) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. ⇒

ВО²=СО•АО. Вычисления дадут  ту же длину ВО=9,6 см

Обозначим треугольник АВС, СН- высота, угол САН=55°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Значит, меньший ∠СВА=90°-55°=35°

Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных. 

АС - меньший катет. ∠САН=55°, ⇒ ∠АСН=90°-55°=35°

ВС - больший катет. ∠СВН=35°, ⇒ ∠ВСН-90°-35°=55°  

Обратим внимание на то, что углы в треугольниках, на которые высота разделила∆ АВС, равны как в них, так и в исходном. 

Мы получили одно из важных свойств высоты прямоугольного треугольника.

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.