Площа чотирикутника дорівнює 180 см2. Його ортогональною проекцією є паралелограм, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а кут між сторонами –60˚ . Знайдіть невідому сторону паралелограма, якщо кут між площинами чотирикутника і його проекції дорівнює 30˚.

Прямые ΑΒ и СD перпендикулярны плоскости α и Β,D∈α, ΑС пересекает плоскость α в точке Р. Найдите ΡD, если ΑΒ=12см, ΒD=СD=3см

Задача на подобие треугольников.
АВ и СД перпендикулярны плоскости α и поэтому параллельны между собой.
Два прямоугольных треугольника PCD   и АВР подобны по равенству углов. (Если в прямоугольных треугольниках равен один из острых углов, то они подобны)
Из подобия треугольников вытекает отношение
АВ:СD=PB:PD
Пусть PD=x, тогда РВ= BD+PD=3+x
12:3=(x+3):x
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. 
12х=3х+9
9х=9
х=1
PD=1 см

В прямоугольной системе координат даны векторы а {3; -2} и b{1; -2}. Найдите координаты вектора с=5а- 9b и его длину. Постройте вектор с , если его конец совпадает с точкой М(3;2).
Решение.
Умножение вектора на число: pa=(px1;py1), где p - любое число. Тогда
Вектор 5a{15;-10}
Вектор 9b{9;-18}
Разность векторов : a-b=(x1-x2;y1-y2). Тогда
Вектор c{6;8}.
Длина вектора (его модуль) |c|=√(x²+y²). Тогда
|c| = √(36+64) =10.
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА.
Зная координаты конца вектора, находим его начало:
то есть 6=3-х, 8=2-y, откуда находим точку начала вектора с: Р(-3;-6).
Зная координаты начала и конца вектора, легко построить его на координатной плоскости. (смотри рисунок).