У прямокутному трикутнику катети відносяться як 8:15. Медіана, проведена до гіпотенузи =34см. Обчислити периметр трикутника

Допустим у нас есть два равных треугольника АВС и А1В1С1, АМ и А1М1 - их соответственные медианы, проведенные к сторонам ВС и В1С1 соответственно
тогда 
ВМ = МС,   В1М1 = М1С1   (АМ и А1М1 - медианы), 
а раз ВС = В1С1, то все педидущие четыре отрезка равны:
ВМ = МС = В1М1 = М1С1
далее уголВ = углуВ1(соответствующие углы равных треугольников)
АВ = А1В1 (соответствующие стороны равных треугольников)

на основании выше изложенного делаем вывод, что тр.АВМ = тр.А1В1М1(по двум сторонам и углу между ними)
а уже на основании равенства треугольников АВМ и А1В1М1 делаем вывод о равенстве наших медиан АМ и А1М1, что и требовалось доказать

Найдем координаты точки D (медианы стороны ВС):
Xd=(3+4)/2=3,5.
Yd=(1-2)/2=-0,5.
D(3,5;-0,5). Вектор AD{Xd-Xa;Yd-Ya} или AD{2,5;-3,5}.
Модуль вектора |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5.
Уравнение прямой ВС:
(X-Xb)/(Xc-Xb)=(Y-Yb)/(Yc-Yb) или
(X-4)/(-1)=(Y-1)/(-3) - каноническое уравнение.
Уравнение прямой ВС в общем виде Ax+By+C=0:
3х-y-11=0, где А=3, В=-1, С=-11.
Вектор нормали прямой - это перпендикуляр к прямой.
Координаты вектора нормали из уравнения прямой ВС:
n={А;В}={3;-1}. Этот же вектор - направляющий вектор для прямой АЕ.
Формула для уравнения прямой, проходящей через точку А(1;3)
и имеющей направляющий вектор р{3;-1}, то есть уравнение прямой АЕ:
(X-1)/3=(Y-3)/-1 - каноническое уравнение.
х+3y-10=0 - общее уравнение прямой АЕ.
Найдем точку пересечения прямых АЕ и ВС:
Система двух уравнений:
3х-y-11=0 и х+3y-10=0. Решаем систему и имееи:
Х=4,3 и Y=1,9/ То есть точка Е(4,3;1,9).
Тогда вектор АЕ{3,3;-1,1}. Модуль вектора |AE|=√(10,89+1,21)=√12,1.
Угол между векторами AD и ВЕ:
Cosα=(Xad*Xae+Yad*Yae)/(√18,5*√12,1)≈ 12,1/14,96 ≈ 0,809.
ответ: угол между векторами равен arccos(0,809. или α≈36°.

Второй вариант:
Находим точку D(3,5;-0,5). Вектор AD{2,5;-3,5}.
Медиана (Модуль вектора) |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5. (смотри первый вариант).
Находим площадь треугольника по координатам его вершин по формуле
(по формуле Герона, когда стороны - сплошные корни не хочется решать):
S=(1/2)|(Xa-Xc)*(Yb-Yc)-(Xb-Xc)(Ya-Yc)| или в нашем случае:
S=(1/2)|(1-3)*(1+2)-(4-3)(3+2)|= 5,5.
Находим длину стороны ВС:
|BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²] или BC=√[(-1)²+(-3)²] =√10.
Тогда высота треугольника АЕ=2*S/ВС= 11√10/10.
Угол между высотой АЕ и медианой AD определяем по косинусу угла <DAE в прямоугольном треугольнике АDE:
Cos(<DAE)=AD/AE или Cos(<DAE)=11√10/(10*√18,5) =11√185/185 ≈ 0,809.
ответ: угол равен arccos(0,809) или <DAE≈36°.