Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего.
Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью
Sosn =20*21/2 = 210,
и грани пирамиды имеют одинаковый наклон.
Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть - это центр вписанной окружности.
Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r.
Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так
Sb = (1/2)*Р*h;
где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней),
Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.
Итак,
H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)
H = 6; это высота пирамиды
Sosn = 210;
Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);
Полная поверхность 210*(1 + корень(2));
Объяснение:
Дано ABCD квадрат, МА⊥(АВС), угол между плоскостями ABC и BMC равен 30°.
Найти : угол между прямой MC и плоскостью квадрата.
Решение.
МА-перпендикуляр к плоскости, МВ-наклонная, АВ-проекция. Проекция АВ⊥ВС , т.к АВСD-квадрат, значит МВ⊥ВС по т. о трех перпендикулярах. Тогда угол между плоскостями ABC и BMC будет линейный угол ∠МВА=30°.
Пусть сторона квадрата х.
ΔАВМ -прямоугольный , tg 30°=ПМ/х , АМ==х/√3.
Найдем диагональ квадрата из ΔАDС по т. Пифагора :АС=√(х²+х²)=х√2.
Углом между МС и плоскостью квадрата есть угол между МС и ее проекцией , т.е ∠МСА.
ΔАСМ -прямоугольный , tg ∠МСА=МА/АС , tg ∠МСА=(х/√3):(х√2)=1:√6=√6/6 ⇒∠МСА=arctg(√6/6)
