EM=KR=8; MK=ER=10
Объяснение:
Дано: ЕМКR - прямоугольник
∠MFE=45°
MF-FK=6
P (ЕМКR)=36
Найти: стороны прямоугольника.
Пусть MF=x ⇒ FK=MF-6=x-6
Рассмотрим ΔEMF - прямоугольный
∠MFE=45°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠MEF=45°
ΔEMF - равнобедренный (углы при основании равны)
⇒ EM=MF=x
Противоположные стороны прямоугольника равны.
EM=KR=x
MK=ER=x+(x-6)=2x-6
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин соседних сторон.
Р (ЕМКR)=2(х+2х-6)=2(3х-6)
36=2(3х-6)
3х-6=18
3х=24
х=8
⇒ EM=KR=8
MK=ER=2x-6=10
ответ: стороны треугольника 13; 14; 15
Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);
получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)
площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):
а/b = 30/28 = 15/14
a/c = 30/26 = 15/13
b/c = 28/26 = 14/13
можно записать три стороны:
a = 15c/13; b = 14c/13 и с.
площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)
полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13
84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))
84 = 7*3*4*c^2/169
c^2 = 169
c = 13
b = 14
a = 15
