Длины сторон треугольника АМР принимают целочисленные значения.
Длина стороны АМ равна…

Для нахождения длины стороны АМ треугольника АМР нам необходимо получить информацию о длинах двух других сторон треугольника.

У нас есть формула, которая связывает длины сторон треугольника с углами. Она называется теоремой косинусов и записывается следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Где:
c - длина стороны противолежащей углу C,
a и b - длины двух других сторон,
C - угол, противолежащий стороне c.

Мы знаем, что треугольник АМР - прямоугольный, так как одна из его сторон является гипотенузой. Пусть сторона AM - гипотенуза, а сторона AR - катет.

Так как треугольник АМР прямоугольный, это означает, что угол PAM равен 90 градусам. Тогда мы можем применить теорему Пифагора:

AM^2 = AP^2 + PM^2

Где:
AM - длина гипотенузы, а значит, стороны треугольника АМР,
AP и PM - длины катетов, исходящих из вершины M.

Нам необходимо найти длину стороны AM, поэтому мы должны выразить ее из этой формулы.

AM^2 = AP^2 + PM^2
AM^2 = AP^2 + (AM - AP)^2
AM^2 = AP^2 + AM^2 - 2AP * AM + AP^2
0 = AP^2 + AM^2 - 2AP * AM

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику АМР.

AM^2 = AP^2 + AM^2 - 2AP * AM
AM^2 = AP^2 + AM^2 - 2AP * AM * cos(PAR)

Поскольку угол PAR равен 90 градусам (так как треугольник АМР прямоугольный), cos(PAR) равен 0. Тогда у нас остается:

AM^2 = AP^2 + AM^2 - 2AP * AM * 0
AM^2 = AP^2 + AM^2
0 = AP^2

Мы получаем, что AP^2 = 0. Это возможно только в случае, когда AP = 0. То есть, катет AR равен 0.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора снова, чтобы выразить длину гипотенузы AM:

AM^2 = AP^2 + PM^2
AM^2 = 0^2 + PM^2
AM^2 = PM^2

Таким образом, у нас получается, что длина стороны AM равна длине стороны PM треугольника АМР. Ответом будет AM = PM.

Вывод:
Длина стороны АМ треугольника АМР равна длине стороны PM.