10. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен
3 см. Найдите сторону АВ этого треугольника, если противоде.
жащий ей угол С равен: а) 30°; б) 45; в) 60°; г) 90°; д) 150”
Решите

1.

AC = 8,5 - 4,6 = 3,9 см.

AB - весь отрезок.

AC - часть отрезка.

BC - часть отрезка.

2.

угол CBD = углу ABC = 25°

угол ABD = CBD + ABC = 25° + 25° = 50°

3.

второй угол = 180° - первый угол = 180° - 114° = 66°

4.

P треугольника = 6 + 6 + 4 = 16 см.

5.

1) Рассмотрим треугольник АВС

По теореме о сумме углов треугольника найдем угол В.

Угол В = 180° - угол А - угол С = 180° - 80° - 40° = 60°

2) Угол ВМK = углу А (соответственные при МК || АС и секущей АВ)

Угол ВМK = 80°

3) Угол ВМN = углу MKN (т.к. MN  - биссектриса угла ВМК)

Угол ВМN = углу MKN = 80° : 2 = 40°

4) Рассмотрим треугольник ВМN

По теореме о сумме углов треугольника найдем угол МNВ.

Угол MNB = 180° - угол В - угол ВМN = 180° - 60° - 40° = 80°

5) Сумма углов MNB и MNK равна 180°, т.к. они смешные.

Отсюда угол MNK = 180° - угол MNB = 180° - 80° = 100°

ответ: угол MNK = 100°

6.

Угол ДАС = углу ЕСА ( углы при основании ровнобедреного тркугольника АВС )

Угол ЕАС = углу ДСА ( Угол ДАС = углу ЕСА, а АЕ и СД - биссектрисы этих углов )

АС - общая сторона - из всего выше изложеного делаем вывод что треугольник АДС = треугольнику СЕА ( по стороне и двум прилегающим к ней углам )

7.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Пусть угол С=2х°, угол КАВ=5х°, угол В=90°,  тогда 2х+90=5х

3х=90;  х=30

угол С=30:2=60°;  угол А=90-60=30°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°

Катет ВС лежит против угла 30°, следовательно, он равен половине гипотенузы АС

АС=2ВС=12 см.

1. Площадь параллелограмма равна 72 см², а его стороны - 12 см и 8 см. Найдите высоты параллелограмма.

Sabcd = a · h₁                       Sabcd = b · h₂
12 · h₁ = 72                            8 · h₂ = 72
h₁  = 72/12 = 6 см                h₂ = 72/8 = 9 см

2. Площадь ромба со стороной 18 см и высотой 7 см равна площади прямоугольника со стороной 14 см. Найдите периметр прямоугольника.

Sabcd = Sklmn
AD · BH = a · b
18 · 7 = 14 · b
b = 18 · 7 / 14 = 9 см
Pklmn = 2(a + b) = 2(14 +9) = 46 см

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 15 см, а основание - 24 см.

Проведем ВН - высоту треугольника АВС. Так как треугольник равнобедренный, ВН является медианой.
АН = НС = 24/2 = 12 см

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
             ВН = √(АВ² - АН²)  = √(225 - 144) = √81 = 9 см

Sabc = AC · BH / 2 = 24 · 9 / 2 = 108 см²

4. Меньшая диагональ ромба равна 12 см, а один из углов - 60°. Найдите вторую диагональ и сторону ромба.

ΔABD равнобедренный (AB = AD как стороны ромба) и ∠BAD = 60°, значит ΔABD равносторонний. Тогда АВ = AD = BD = 12 см.

По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма:
AC² + BD² = 4·AB²
AC² = 4·12² - 12² = 3·12²
AC = 12√3 см
 
5. Большее основание и большая боковая сторона прямоугольной трапеции равны а см, а один из углов - 60°. Найдите площадь трапеции.

AD = DC = a см, ∠ADC = 60°, значит ΔADC равносторонний.
Проведем высоту трапеции СН. Она является высотой и медианой равностороннего треугольника ADC, тогда СН = а√3/2 см, АН = НD = а/2.
СН ║ АВ (как перпендикуляры к одной прямой) и СН = АВ (как высоты трапеции), тогда АВСН - прямоугольник, значит, ВС = АН = а/2 см.
Sabcd = (AD + BC)/2 · CH = (a + a/2)/2 · a√3/2 = 3a²√3/8 см²