Основание вертикальной призмы представляет собой ромб с одной стороной 12 см и острым углом 60 °. Перпендикулярное сечение площадью 180 см2 выполнено через небольшую диагональ ромба. Найти размер призмы

Биссектриса пересекает  продолжение ВС в точке Е. 
∆ АВЕ - равнобедренный ( ∠ВЕА=∠ЕАD как накрестлежащие,
а∠ ВАЕ =∠ЕАD – т.к. АЕ - биссектриса.) 
S ∆ ACM=MC•h/2
S ∆ AMD=DM•h/2.
Высота из А у обоих треугольников общая, следовательно, СМ=DM 
В ∆ МЕС и ∆ MAD  по два равных накрестлежащих угла, равные вертикальные углы и СМ=DM.
Эти треугольники равны по 2-му признаку.⇒ АМ=ЕМ, СЕ=АD и ВЕ=ВС+АD=17. 
Т.к. ∆ АВЕ равнобедренный, АВ=ВЕ=17. 
 В  АВЕ М - середина основания АЕ, ВМ - его медиана и высота. ⇒
∆ АВМ - прямоугольный. 
По т. Пифагора из ∆ АВМ катет АМ=√(BА²-BM²)=√(17²-8²)=15 ед. длины.

ответ:   54 см

Объяснение:

Проведем прямую ВК, параллельную диагонали АС, К - точка пересечения этой прямой с прямой AD.

ВК ║АС,  AD ║ ВС, значит КВСА - параллелограмм, ⇒

АК = ВС = 5 см,

ВК = АС = 9 см.

Если ВН высота трапеции, то

Sabcd = 1/2 (AD + BC) · BH

Рассмотрим ΔКВD:

KB = 9 см, BD = 12 см, KD = КА + AD = 5 + 10 = 15 см, ВН является высотой треугольника.

Skbd = 1/2 KD · BH = 1/2 (KA + AD) · BH = 1/2 (BC + AD) · BH

Сравнивая формулу площади трапеции и площади треугольника видим, что

Sabcd = Skbd.

Найдем площадь треугольника KBD по формуле Герона.

p = (KB + BD + KD)/2 = (9 + 12 + 15)/2 = 18

см²

Sabcd = 54 см²