1 Яка з наведених точок належить площині 0xy?
А
Б
В
Г
А (-1; 2; 3)
В (0; 2; 3)
С (-1; 0; 3)
D (-1; 2; 0)
2 Яка з точок симетрична точці А (-5; 3; -2) відносно початку координат?
А
Б
В
Г
(5; -3; 2)
(5; 3; -2)
(-5; -3; 2)
(-5; 3; 2)
3 В яку точку при паралельному переносі на вектор ´ (2 ;−3 ;4) перейде точка
А (3: 4; -5)?
А
Б
В
Г
(5; 1; -1)
(-1; -7; 9)
(6; -12; -20)
( 2 ;
3 ;
4 )
−
−
3
4
5
4 Яка з наведених точок належить координатній осі z?
А
Б
В
Г
(3; 2; 4)
(3; 0; 0)
(0; 2; 0)
(0; 0; 4)
5 Установіть відповідність між векторами (1–4) і співвідношеннями між ними (А –
Д)
1
´ (2 ;3 ;−8 ) i ´ (−4 ;−5 ;2)
А
однаково напрямлені
2
´ (2 ;−4 ;6 ) i ´ (3 ;−7 ;5)
Б
сума векторів дорівнює вектору (1 ;−´2 ;10)
3
´ (−5 ;2 ;7 )i ´ (6 ;−4 ;3)
В
протилежно напрямлені
4
´ (1 ;2 ;3 )i ´ (−1 ;0 ;1)
Г
вектори рівні
Д
´=2 ´−´=(3 ;4´ ;5)
А
Б
В
Г
Д
1
2
3
4
6 ( ) При яких значеннях y і z вектори ´ (2 ;−3 ;8 ) і ´ (−7 ; y ; z ) колінеарні?
7 ( ) При яких значеннях a вектори ´ (2 ;−3 ;8 ) і ´ (−7 ;−2 ;a ) перпендикулярні?
8 ( ) Дано ABCD – паралелограм, А (- 4; 1; 5), В (- 5; 4; 2), С (3; - 2; - 1).
Знайдіть координати вершини D.
9 ( ) Знайдіть на осі y точку, рівновіддалену від точок А (-3; 7; 4) і В (2; -5; -1).
10 ( ) Знайдіть кут між векторами ´ і ´ , якщо А (1; 0; 2), В (1; √3; 3),
С (-1; 0; 3), D (-1; -1; 3).

Объяснение:

Накреслимо дві прямі АВ і CD, які перетинаються в точці O (рис. 1). При цьому утворяться чотири кути, менших від розгорнутого: кути AOC, COB, BOD та AOD. Зверніть увагу на те, що сторони кута AOC є доповняльними променями до сторін кута BOD, а сторони кута COB — доповняльними променями до сторін кута AOD.

Два кути, сторони одного з яких є доповняльними променями до сторін іншого, називають вертикальними кутами.

На рис. 58 вертикальними кутами є кути АОС і BOD, а також кути COB і AOD. Вертикальні кути на цьому рисунку зафарбовано однаковим кольором.

Вертикальні кути здаються нам рівними — чи не так? Можна, звичайно, перевірити це за до транспортира, але спробуймо замість вимірювань вдатися до міркувань.

Розглянемо, наприклад, вертикальні кути 1 і 2 на рисунку 1. Кожний з цих кутів є суміжним кутом для одного і того ж кута 3. Суми градусних мір суміжних кутів дорівнюють 180°, тому

1 + 3 = 180°, 2 + 3 = 180°.

Праві частини цих рівностей рівні, тому рівні й ліві частини, тобто 1 + 3 = 2 + 3. Звідси випливає, що 1 = 2. Таким чином, ми дійшли висновку, що вертикальні кути рівні.

Проведене міркування є прикладом доведення: ми, не проводячи вимірювань, встановили, що вертикальні кути рівні. Більш того: ми довели, що будь-які вертикальні кути рівні, а це встановити вимірюванням просто неможливо, бо вертикальних кутів існує нескінченно багато!

Доведемо тепер, що коли один з кутів, які утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 90°, тобто є прямим, то й усі інші кути, менші від розгорнутого, теж є прямими.

Нехай, наприклад, 1 = 90° (рис. 2). Кути 1 і 2 суміжні, тому 1 + 2 = 180°. Звідки 2 = 180° – 90° = 90°. Кути 1 і 3, а також 2 і 4 є вертикальними, тому 3 = 1 = 90° і 4 = 2 = 90°. Отже, 1 = 2 = 3 = 4 = 90°.

Менший з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, називають кутом між цими прямими. Наприклад, кут між прямими АВ і CD на рис. 3 дорівнює кутові АОС або рівному йому кутові BOD.

Задача. Два з чотирьох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відносяться, як 4 : 5. Знайти градусну міру кож­ного з кутів, що утворилися.

Розв'язання. Два кути, які утворилися в результаті пе­ретину двох прямих, або суміжні, або вертикальні .Cкільки вертикальні кути рівні:

АКВ = СКВ, АКС =ВКВ, то кути, про які йде мова у задачі,— це суміжні кути. Наприклад, АКВ і АКС. Оскільки АКВ: АКС = 4 : 5, то можемо позначити АКВ = 4х, АКС = 5х. За властивістю суміжних кутів: 4х+ 5х = 180°. Звідси х = 20°. Тоді АКВ = 4 • 20° = 80°, АКС = 5 • 20° = 100°. Далі: СКD = АКВ = 80°, ВКD =АКС = 100°.

Відповідь. 80°; 100°; 80°; 100°.

В прямоугольном треугольнике ABC:
AB - гипотенуза
BC = 8 см - катет
AC - катет

По условию
AB = BC + AC - 4 
AB = 8 + AC - 4
AB = AC + 4

По теореме Пифагора:
AB² = BC² + AC²
AB² = 8² + AC²
AB² = AC² + 64

(AC + 4)² = AC² + 64
AC² + 8AC + 16 = AC² + 64
8AC = 64 - 16
8AC = 48
AC = 6 (cм)

Тогда AB = 6 + 4 = 10 (cм)

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10.
∠C = 90°
∠A можно определить по синусу угла, т.е. по отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB

sin(A) = BC/AB
sin(A) = 8/10 = 0,8

По таблице Брадиса находим, что данной величине приблизительно соответствует угол 53°7' ≈ 53°

Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ∠B = 180 - 90 - 53 = 37 (°)

∠A является большим из острых углов треугольника ABC.
∠A = 53°

P.S. такой треугольник называется египетским или золотым