У прямокутнику АВСД діагональ дорівнює d і утворює з більшою стороною кут β. Знайти периметр прямокутника.

 Сделаем рисунок. 

СДТР- трапеция.  

 

Площадь ее равна сумме площадей трех равносторонних треугольников. 

Отсюда площадь ОСД=27√3:3=9√3  

Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис углов. А в равностороннем треугольнике биссектриса одновременно и медиана и высота.

Медианы треугольников пересекаются  на расстоянии 2/3 от вершины треугольника, из которой они проведены .

(См. рисунок)

Чтобы найти периметр треугольника, нужно знать длины его сторон.

Сторона МН равна стороне правильного треугольника,  из таких треугольниковсостоит данный шестиугольник. 

Найдем сторону а из формулы площади правильного треугольника:
S=а²√3):4
Из нее вычислим сторону а
4S=а²√3
а²=4S:√3
а²=4*9√3):√3=36
а=6
НМ=а=6
НК=КМ=1/2 НМ:sin (60)

НК=3:(√3:2)=6:√3=6√3:3=2√3

Периметр Р треугольника МКН - сумма его сторон:
Р=2*2√3+6=4√3+6

Точка О - пересечение медиан, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (свойство). Значит ВО=10, а ВН=15.
Проведем перпендикуляр ОК - расстояние от точки О до прямой ВС.
Из прямоугольного треугольника ВОК по Пифагору ВК=√(10²-8²)= 6см.  КС=ВС-ВК=ВС-6.
Из прямоугольного треугольника КОС по Пифагору ОС²=ОК²+КС².
ОС²= 8²+(ВС-6)² = 64+ВС²-12ВС+36 =ВС²-12ВС+100 (1).
В равнобедренном треугольнике ВН - медиана и высота.
Из прямоугольного треугольника НОС по Пифагору
ОС²=ОН²+НС² = 25+НС². 
Из прямоугольного треугольника ВНС по Пифагору НС²=ВС²-15².
Тогда ОС²=25+ВС²-225 = ВС²-200  (2).
Приравняем (1) и (2):
ВС²-12ВС+100=ВС²-200  =>  12ВС=300  и  ВС=25. АВ=ВС=25см.
НС²=ВС²-15²=НС²=25²-15²=400 и
АС=2*НС = 40см.
ответ: стороны треугольника равны 25,25 и 40.