" Дано куб АВСDА1В1С1D1. Вычислить величину угла между векторами АВ1 и А1D с векторного метода (отметьте прямые АВ1 и А1D соответствующими векторами). Подсказка: воспользуйтесь формулой нахождения угла между векторами. "
Объяснение:
векторный
Пусть ребро куба а. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Координаты точек
А(а ;0; 0) , В(0;0;а) , 
, 
=√((-a)²+0²+a²)=a√2 ;
А(а ;0; a) , D(a;a;0) , 
, 
=√(0²+a²+(-a)²)=a√2 .
Скалярное произведение можно вычислить двумя
-по определению 
;
-используя координаты 
.
Получаем 
,
2a²* 
= - а² ,
⇒ угол между векторами равен 120° .
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из плоских углов, образованных этими прямыми ⇒ угол между прямыми АВ₁ и А₁D равен 60° .
по т. косинусов.
Достроим куб ( фактически до 2-го этажа).
Перенесем вектор 
как показано на чертеже, для совмещения начал данных векторов. Найдем угол между векторами 
из ΔА₁DB₂ по т. косинусов . Найдем длины отрезков
- А₁В₂=А₁D , какдиагонали квадрата , по т. Пифагора √(а²+а²)=а√2.
- DB₂ , как диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, а,2а ; DB₂ =√(а²+а²+4а²)=а√6.
DB₂²= А₁В₂² + А₁D²-2*А₁В₂*А₁D* cos( А₁В₂;А₁D),
6а²=2а²+2а²-2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D),
2*а√2*а√2* cos( А₁В₂;А₁D)=-2а²,
cos( А₁В₂;А₁D)=-1/2 ⇒ угол между отрезками А₁В₂;А₁D равен 120°. Тогда угол между прямыми АВ₁ и А₁D равен 60° (180° -120°=60° ) .
