Дано: треугольник АВС. т.Д принадлежит стороне АВ. Доказать, что отрезок СД меньше одной из сторон: АС или ВС.

Если трапеция описана около окружности, то суммы ее противоположных сторон равны. Сумма боковых сторон = 9a+16a+9a+16=50a, значит сумма оснований также = 50a. Радиус вписанной в трапецию окружности = 1/2 h = 12 см. Радиус можно найти по формуле r=S/p, где S - площадь, p - полупериметр. Найдем p, зная суммы противоположных сторон:
p=50a+50a/2=50a
S = a+b/2 * h, где а и b - основания;
Сумма оснований = 50а, значит полусумма = 25а, следовательно
S = 25a*24
Вернемся к формуле:
25a*24/50a=12
600a=600, значит а=1
Средняя линия - это полусумма оснований, значит, она равна = 25а=25 (см)
ответ: 25 см.

Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ

Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС. 

Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

Из подобия следует отношение 

ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒

ВЕ:ВС=ВD:АВ

Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий. 

2-й признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 

Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать. 

Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.