У паралелограмі ABCD на стороні AD позначено точку М, кут ABM =90 градусів, кут AMB =45 градусів, AM =4 см, MD=7 см. Знайти площу паралелограма. ​

От квадрата со стороной a отсечены:

треугольник, равный 1/8 площади квадрата

два симметричных треугольника с катетами a и a*tg15

Искомая площадь равна

S= a^2(1 -1/8 -tg15) =a^2(8√3 -9)/8

R - радиус описанной окружности

Сторона квадрата a =R√2

Сторона треугольника 12 =R√3

a= 12*√2/√3 =4√6

S= 12(8√3 -9) =96√3 -108

Центр окружности - на пересечении диагоналей квадрата. Треугольник имеет с квадратом общую вершину, следовательно серединный перпендикуляр к основанию совпадает с диагональю квадрата.

AO/OH =2/1 (AH - медиана), AO=OC (радиусы) => OC/OH =2/1.

BD⊥AC, EF⊥AC => BD||EF. По теореме Фалеса EF делит стороны BC и CD в том же отношении, что и OC, то есть пополам.

DAE= (DAB-EAF)/2 =(90-60)/2 =15

tg15 =tg(30/2) =(1-cos30)/sin30 =2(1-√3/2) =2-√3

Если двугранные углы при основании равны. То, опустив все четыре апофемы и высоту пирамиды, найдем, что отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с основаниями апофем, равны по длине. Докажем это. Опустив одну апофему и проведя соответствующий отрезок, соединяющий высоту пирамиды и основание апофемы, найдем, что высота - это перпендикуляр, а апофема - это наклонная, причем эта наклонная перпендикулярна соответствующей стороне основания пирамиды, тогда по теореме обратной теореме "о трех перпендикулярах" найдем, что отрезок, соединяющий основание высоты и основание апофемы перпендикулярен стороне основания, и апофема и этот отрезок образуют линейный угол двугранного угла. Но т. к. по условию все двугранные углы равны, то равны и все отрезки, соединяющие основания высоты и апофем (это следует из равенства прямоугольных треугольников, каждый из которых составлен из высоты, апофемы и отрезка, соединяющего их основания). Что мы имеем? Т.к. указанные отрезки равны и перпендикулярны сторонам основания, то отсюда следует, что основание высоты пирамиды - это центр вписанной в основание окружности. Таким образом у нас есть две точки основания:
центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. Нужно теперь доказать, что эти точки не совпадают. По условию, основанием является равнобокая трапеция. Высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. Пусть ABCD - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. Причем AD - большее основание, BC - меньшее основание трапеции. Пусть т. F - точка пересечения диагоналей. Проведя диагонали трапеции AC и BD. Найдем, что треугольники AFD и CFB подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC равны). Но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = AD/BC, но AD>BC, поэтому AD/BC>1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. F, что означает, что т. F не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. ЧТД.