Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). Далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон попарно лежат на противоположных концах диаметров (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять внимание...). Поэтому при вращении на 180° вокруг центра окружности точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам). То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны. То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника. Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно). Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то x + y = 5; x + z = 7; y + z = 6; Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4) То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС. Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона. p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6; Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;
1) гипотенуза делится на 2 отрезка: 10х и 3х (х длина одной части гипотенузы); 2) из одной вершины треугольника две касательные равные: 3х; из второй вершины две касательные равные: 10х; из третьей вершины две касательные равные: у; 3) гипотенуза равна 3х+10х=13х; один катет равен 3х+у; второй катет равен 10х+у; 4) радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле: r=(a+b-c)/2; 5)подставим наши значения: 4=(3х+у+10х+у-13х)/2; 2у=8; у=4; 5) значит, один катет равен 3х+4; второй катет равен 10х+4; по теореме Пифагора: (13х)^2=(3х+4)^2+(10х+4)^2; 169х^2=9х^2+24х+16+100х^2+80х+16; 15х^2-26х-8=0; х=2; х=-4/15 (отрицательный корень нам не нужен); 6) гипотенуза равна: 13х=13*2=26; один катет равен: 3х+4=3*2+4=10; второй катет равен: 10х+4=10*2+4=24; ответ: 10; 24; 26
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
