Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.
Острого угла в прямоугольном треугольнике
Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.
Определение.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Определение.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.
Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB, то есть, sin∠A=BC/AB.
Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3, а гипотенуза AB равна 7, то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7.
К началу страницы
Угла поворота
В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота. Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞.
В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A1, в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности.

Определение.
Синус угла поворота α - это ордината точки A1, то есть, sinα=y.
Определение.
Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A1, то есть, cosα=x.
Определение.
Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x.
Определение.
Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y.
Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).
Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).
В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.
В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
Такжесоответственно.
Дано:
треугольник АВС,
угол А = угол С,
ВМ — высота.
Доказать: треугольник АВМ = треугольник СВМ.
Доказательство:
Свойство равнобедренного треугольника: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным.
(У нас, по условию задачи, угол А равен углу С, значит треугольник АВС является равнобедренным)
угол А = угол С => треуг. АВС — равнобедренный.
(Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны, эти две стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Какие же стороны боковые? Признак равнобедренного треугольника: если треугольник является равнобедренным, то углы при его основании равны. Соответственно, сторона АС является основанием, а стороны АВ и ВС — боковые стороны и они равны)
АВ = ВС.
(Теперь разберёмся с высотой ВМ. Высота равнобедренного треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника, к противолежащей стороне, в данном случае, к основанию треугольника)
ВМ — высота, ВМ перпендикулярно АС. <рисунок1>
Свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике медиана, биссектрисса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
(Получается, высота ВМ — это и биссектрисса ВМ, и медиана ВМ. Биссектриса — прямая, делящая угол пополам. Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, в данном случае, с серединой основания)
Рассмотрим ВМ как биссектрису => угол АВМ = угол СВМ. <рисунок2>
Рассмотрим ВМ как медиану => АМ = МС. <рисунок3>
(Соединим все полученные данные и докажем, что треугольники АВМ и СВМ равны. По всем трём признакам равенства треугольников, эти треугольники равны, но распишем третий признак)
Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
АВ = ВС, ВМ — общая сторона для двух треугольников, АМ = МС => треугольник АВМ = треугольник СВМ.
