Расчёт в координатной прямоугольной системе.
Основание тетраэдра KPNM - (это PNM) в плоскости хОу, вершина N в начале координат, ребро NM по оси Оу.
Определяем координаты заданных точек.
N(0; 0; 0), M(0; 4; 0), P(2√3; 2; 0).
Высоту точки К находим по формуле H = a√(2/3) = 4*√(2/3) ≈ 3,26599.
Точка К((2√3/3); 2; 4√(2/3)).
Координаты точки Н (это основание высоты пирамиды) находим как точку пересечения медиан основания пирамиды по формуле среднего арифметического координат вершин основания.
H((2√3/3); 2; 0).
Точка L как середина ребра KM:
L =(К((2√3/3); 2; 4√(2/3)) + M(0; 4; 0))/2 = ((√3/3); 3; 2√(2/3))
Определяем векторы.
КН = (0; 0; -4√(2/3)), модуль равен 4√(2/3)
NL = L(((√3/3); 3; 2√(2/3)) - N(0; 0; 0) = ((√3/3); 3; 2√(2/3)), модуль равен √((3/9) + 9 + (8/3)) = √(108/9) = 2√3.
Теперь находим косинус угла между заданными прямыми.
cos(KH_NL) = |(0 + 0 + (-16/3))|/(4√(2/3)*2√3) = √2/3.
Угол равен arccos(√2/3) = 1,0799 радиан или 61,8745 градуса.
AB=BD (по условию)
Рассмотрим треуг. ABD
AB=AD (т. к. в ромбе все стороны равны)
AD=BD
следовательно треуг. ABD - правильный (равностороний)
В правильном треугольник все углы равные и равны 60
a) уг. BAD=уг. BCD=60
уг. АВС= уг. ADC=(360-уг. BAD-уг. BCD)/2=(360-60-60)/2=240/2=120
б) С диагональю BD 60 градусов, т.к. образуются два правильных треугольника
Рассмотрим треуг.АВС - равнобедренный (стороны ромба ранвы)
уг. В=120
уг. А=уг. С=(180-уг. В)/2=(180-120)/2=60/2=30
аналогично с треугольником ADC
