sin ∠45° = √2/2;
cos ∠45° = √2/2;
tg ∠45° = 1;
сtg ∠45° = 1.
Объяснение:
Задание
Вывести тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45°.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, с прямым углом С, равным 90°, и острым углом А, равным 45°.
1) Найдём значение второго острого угла (угла В):
∠В = 180° - ∠А - ∠С = 180° - 45° - 90° = 45°.
2) Так как ∠А = ∠В = 45°, то это значит, что треугольник АВС - равнобедренный, и в нём катет АС равен катету ВС.
3) Пусть АС = х, тогда и ВС = х, а гипотенузу АВ можно найти по теореме Пифагора:
АВ = √(АС²+ВС²) = √(х²+х²) = √2х² = х√2.
4) Теперь выведем все тригонометрические функции угла А, равного 45°:
а) синус угла 45°:
sin ∠А = ВС : АВ - отношение противолежащего катета к гипотенузе;
sin ∠А = х : х√2 = 1 : √2 = √2/2; а так как ∠А = 45°, то:
sin ∠45° = √2/2;
б) косинус угла 45°:
cos ∠А = АС : АВ - отношение прилежащего катета к гипотенузе;
cos ∠А = х : х√2 = 1 : √2 = √2/2; а так как ∠А = 45°, то:
cos ∠45° = √2/2;
в) тангенс угла 45°:
tg ∠А = BC : АC - отношение противолежащего катета к прилежащему;
tg ∠А = х : х = 1 ; а так как ∠А = 45°, то:
tg ∠45° = 1;
г) котангенс угла 45°:
сtg ∠А = АС : ВС - отношение прилежащего катета к противолежащему;
сtg ∠А = х : х = 1 ; а так как ∠А = 45°, то:
сtg ∠45° = 1.
sin ∠45° = √2/2;
cos ∠45° = √2/2;
tg ∠45° = 1;
сtg ∠45° = 1.
