1. Пусть а и b - стороны прямоугольника.
2. Составим систему уравнений, в которой первое уравнение будет выражать периметр прямоугольника, а второе - площадь.
{ 2 • (a + b) = 22,
{a • b = 28.
3. В первом уравнении разделим обе части на 2.
{ a + b = 11,
{a • b = 28.
4. Выразим одну из строн в первогом уравнении, подставим во второе и решим его.
a = 11 - b,
(11 - b) • b = 28,
11b - b^2 = 28,
b^2 - 11b + 28 = 0,
b1 = 4, b2 = 7.
Выразим а через полученные значения b.
a1 = 11 - 4 = 7,
a2 = 11 - 7 = 4.
ответ: ширина прямоугольника равна 4, а длина - 7.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
ABCD - четырёхугольник.
AD = BC.
AD║BC.
Точка М - середина CD.
Точка N ∈ ВС.
BN = 7.
CN = 3.
∠AMN = 90°.
Найти:
AN = ?
Так как AD = BC и AD║BC, то четырёхугольник ABCD - параллелограмм (по признаку параллелограмма).
Если на одной из двух прямых последовательно отметь несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (теорема Фалеса). Проведём через точку М прямую МЕ, которая параллельна AD и пересекает сторону AN в точке F. Так как МЕ║AD и AD║ВС, то также МЕ║AD║ВС. Следовательно, по теореме Фалеса, AF = NF, AE = ЕВ.
Рассмотрим четырёхугольник ЕВСМ. Так как ЕМ║ВС (по выше доказанному) и отрезки ЕВ║МС (так как лежат на параллельных прямых), то четырёхугольник ЕВСМ - параллелограмм по определению. Тогда, по свойству параллелограмма, ВС = ЕМ = BN+NC = 7+3 = 10.
Рассмотрим ΔABN. Так как отрезок EF соединяет середины сторон АВ и AN, то EF - средняя линия, причём параллельна стороне BN, а значит, равна её половине (по свойству средней линии треугольника). EF = BN/2 = 7/2 = 3,5.
ЕМ = EF+FM ⇒ FM = ЕМ-EF ⇒ FM = 10-3,5 = 6,5.
Рассмотрим ΔANM - прямоугольный (по условию). FM - медиана, проведённая к гипотенузе, а значит, равна её половине (по свойству прямоугольного треугольника). AN = 2*FM ⇒ AN = 2*6,5 ⇒ AN = 13.
ответ: 13.
