Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пусть х см - один катет, тогда (х - 14) см - другой катет. Уравнение:
х² + (х - 14)² = 34²
х² + (х² - 2 · х · 14 + 14²) = 1156
х² + х² - 28х + 196 = 1156
2х² - 28х + 196 - 1156 = 0
2х² - 28х - 960 = 0
х² - 14х - 480 = 0
D = b² - 4ac = (-14)² - 4 · 1 · (-480) = 196 + 1920 = 2116
√D = √2116 = 46
х₁ = (14-46)/(2·1) = (-32)/2 = -16 (не подходит, так как < 0)
х₂ = (14+46)/(2·1) = 60/2 = 30 (см) - один катет
30 - 14 = 16 (см) - другой катет
ответ: 30 см и 16 см.
Проверка:
30² + 16² = 34²
900 + 256 = 1156
1156 = 1156 - верно
