2. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы 120° болып,
оған еншілес емес ішкі бұрышы 1:2 қатынаста
болса, үшбұрыштың бұрыштарын тап.
​

Из рис.1 видим, что BD-биссектриса, значит ∠ADB=∠BDC. А ∠CBD=∠ADB как вертикальные. Поэтому углы BDC и CBD равны между собой. Значит треугольник BCD-равнобедренный, то есть BC=CD.
Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.

Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.

Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).

Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см).
Площадь трапеции равна
S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)

Задача 1 (рисунок 1).

1) МВ и КВ, МА и ТА, КС и ТС - отрезки касательных, проведённых из одной точки. Они равны по свойству касательных. Следовательно, треугольник АВС разбивается на три пары равных (попарно) отрезков.

PΔАВС=2*2+4*2+6*2=24см.

Задача 2 (рисунок 2).

3:4=3х+4х

По теореме о пересекающихся хордах:

36*3=3х*4х

108=12х²

х=3.

CD=3*7=21см.

Задача 3 (рисунок 3).

Сначала ищем градусную меру дуг АМВ и АСВ.

Если 2 дуги, на которые делит окружность любая хорда, вместе равны 360°, то:

(360-80):2=140° - дуга АСВ.

Тогда дуга АМВ = 140+80=220°. (в сумме 360).

Дальше пользуемся свойствами вписанных и центральных углов:

1) ∠АСВ=150°, ∠АОВ=210° (центральные ∠).

2) ∠АМВ=половине АОВ=75°, ∠АВМ=половине АОМ=90°,

3)∠АСВ=половине АМВ=105° (вписанные углы).

ответ: 210° - ∠АМВ, 90° - ∠АВМ, 105° - ∠АСВ.